Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
V1P^P0F = P0-. (7.25)
В статическом или квазистатическом случаях имеем уравнения равновесия в отсчётной конфигурации:
ViPi + P0F = 0. (7.26)
Разложим векторы напряжений рг по векторам базиса отсчётной конфигурации:
рг =ргзе3. (7.27)
Введём на их основе тензор напряжений Пиолы, или тензор
обобщённых напряжений:
7г = рг^Єі ® ej = єі ® _р\ (7.28)
Нетрудно установить связь между тензорами напряжений
Пиолы 7г и Коши Р. Для этого умножим скалярно справа
обе части равенства (4.19) на Ej и получим, что
ё5 = ГТ-Ег (7.29)
Тогда из (7.24) и (7.28) следует
7Г = з 0Pi = ^Е~Т -Ei^Pi = \^Е~Т ¦ E- (7-30)
Иногда наряду с тензорами тт и P рассматривают тензор
напряжений Кирхгофа К
K = Ei(E)Pi, (7.31)
Основные постулаты (продолжение)
87
который связан с тензором Пиолы следующим образом:
7Г = Si^pi = F~T-Ei^pi = F~T-К. (7.32)
Рассмотрим теперь формулировку закона об изменении момента количества движения в отсчётной конфигурации. He останавливаясь подробно на выкладках, аналогичных проделанным в этой лекции ранее, преобразуем интегральное равенство (7.2) к виду
р» (fx^) dyO =
V0 V0
Poirx F) dVo +
TXsi-nU E0 (7.33)
и после применения формулы Остроградского-Гаусса и основной леммы получим в каждой точке объёма V
ElXp1 = 0. (7.34)
Векторное равенство (7.34) — дифференциальное следствие закона об изменении момента количества движения в отсчётной конфигурации. Из (7.34) не следует симметрия тензора Пиолы 7г. Действительно, согласно (3.41) и (1.16)
EiXp1 = ^ei + хрг = єі х e-jp13 + и1леі х ejp13 =
= Vg(Si + U1^ek. (7.35) В силу (7.34) и (7.35) имеют место равенства
4jk V%] + 4jk U1,г Pi3 = °> (7-36)
показывающие, что тензор тг, вообще говоря, несимметричен.
Умножим теперь обе части (7.25) скалярно на вектор dr = = v dt. Тогда правая часть полученного равенства запишется в виде
dk = d Pqv -vdVo J, (7.37)
V у0 /
откуда
88
Лекция 7
Из второго слагаемого левой части получим
(в) _
PqF • drdXо,
(7.39)
Vb
а из первого слагаемого
dt
ViP1 • V dXо =
^ • drdSо - dt
S0
Тензорное равенство
Pvg1-Щ! (7-40)
j—., д. 9-У
F =ek®Ek = ek®-^:
(7.41)
говорит о том, что подынтегральное выражение в последнем слагаемом в (7.40) можно записать следующим образом:
dv
Wt
С другой стороны,
P^ej ¦ = тгт : F'.
(7.42)
a-, dv _k j-
P ЄІ ' Qgi = P 6I ' Ук’іЄ = P VJ,i-
Поэтому, обозначая
<5<4е) =
s(п) • drdTiQ,
(7.43)
(7.44)
Sa^ = —dt
7Г : F' d\о = —dt
Vb
PijVj^idV0,
V0
(7.45)
получим из (7.39), (7.40), (7.44), (7.45) теорему живых сил для отсчётной конфигурации:
dk = + Sa^. (7.46)
О
Так же как и в (4.57), тензор Vv представляется в виде суммы своей симметричной части, тензора скоростей деформаций D = dije1 (g) еJ с компонентами
(7.47)
Основные постулаты (продолжение)
89
и антисимметричной части — спин-тензора R = г^ег ® е
с компонентами
I о о
Tij = ^(ViVj - VjVi).
(7.48)
Наряду с (7.45) имеем ещё одну форму записи величины Sa^:
Sa^ = -dt
P^dij dVQ - dt Jpflrij dVQ, (7.49)
причём из-за несимметричности тензора Пиолы второй интеграл в правой части (7.49), вообще говоря, не равен нулю.
ЛЕКЦИЯ 8 НАПРЯЖЁННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ
Рассмотрим тензор напряжений Коши P и его представление (6.55) в актуальной конфигурации. Изучение будем вести в прямоугольной декартовой системе координат с базисными векторами ki, поэтому все индексы будем писать внизу. Согласно (6.48) вектор истинных напряжений
SW = Sii^ki (8.1)
на площадке с единичной нормалью N (рис. 28) представляется в виде
= Njp. = NjPjiki. (8.2)
Из (8.1) и (8.2) следует, что компоненты вектора на любой площадке связаны с компонентами нормали к этой площадке
тензорным законом:
S^ = PjiNj = PijNj. (8.3) На координатных площадках, где iVH = ка, N-a^ = Sai, из
(8.3) имеем
= Pai- (8.4)
Таким образом, компонентам тензора напряжений Коши можно придать следующий физический смысл: величина Pji (равная Pij в силу закона парности касательных напряжений (7.7)) в данной точке равна г-й компоненте вектора истинных напряжений, действующего на площадке, проведённой через эту точку, с нормалью в направлении оси с ортом kj. Напряжённое состояние в точке полностью определяется тензором напряжений P в этой точке [31,61]. Компоненты Paa будем называть растягивающими, а Рар — сдвигающими.
Рис. 28
Напряжённое состояние в точке
91
Нормальным напряжением a^ на площадке с нормалью N назовём проекцию вектора истинных напряжений Sна N (рис. 29):
ат = glNt . JY = SiimNi = PijNjNi.
(8.5)
Нормальное напряжение представляет собой квадратичную форму, построенную с помощью симметричной матрицы Pij на компонентах Ni.
Касательным напряжением на площадке с нормалью N назовём проекцию вектора ?(лО
на саму площадку (или на касательную к площадке плоскость). По теореме Пифагора
T^) = 5WI2-((TW)2 = у/- (PijNjNiY =
= ^PijPikNjNk - (PijNjNiY > 0. (8.6)
