Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
Пользуясь тождеством (6.42), умножим левую часть (6.43) на h/(3Vi), первый интеграл в правой части (6.43) на 1/Е, а каждый из оставшихся интегралов — на Na\/Gaa/Ea:
h
Vi
N1Vg
11
d?-
Si
N2Vcf1
-
NiVg^
dE. (6.44)
Устремим высоту h тетраэдра к нулю. Обозначим пределы:
Iim ^7 V1->о V\
=JdI-F
V1
dt
dt
\о
Iim —
dL = S^\
1
dZ = S$.
(6.45)
Iim —
Ea
Тогда из (6.44) и (6.45) в пределе будем иметь
з
g(N) = NaVG^siaK (6.46)
CK=I
Векторы S^N\ носят название векторов истинных напряжений. Наряду с ними введём в рассмотрение векторы
напряжений Pa на площадках Ea:
pa = ^Q^S^a\ (6.47)
Из (6.46) следует, что
= N1P1. (6.48)
Чтобы разобраться в тензорном характере введённых величин, предположим, что направление вектора N совпадает с направлением нового вектора Ea контравариантного базиса, преобразующегося при переходе к этой новой системе координат по тензорному закону
E1' = Аг'гЁ\ (6.49)
Основные постулаты
79
В силу коллинеарности векторов N и E0
Ea'
N = —— . (6.50)
\Еа'\
Тогда из (6.49), (6.50) следует
NyfGafaf = Aa-Ei. (6.51)
Поэтому из (6.46) имеем
3
§(N) = = AaaSaVGaa. (6.52)
CK=I
При этом величина определяется пределом, аналогич-
ным (6.45) при S —> Ea/.
Из (6.52) видно, что величины S^a'^ не преобразуются по тензорному закону. Иначе обстоит дело с величинами Pa, входящими в (6.47). Подставляя (6.47) в (6.52), получим
pi' = (6.53)
Следовательно, величины P1 преобразуются при переходе от одной системы координат к другой по тензорному закону. Разложим векторы напряжений P1 по векторам базиса:
Рг = P13E3. (6.54)
Нетрудно видеть, что величины Р%3 являются компонентами
тензора Р:
P = P3 ® E3 = P13E1 ® E3. (6.55)
Тензор (6.55) называется тензором напряжений Коши.
Соотношение (6.48) выражают связь вектора напряжений на произвольной наклонной площадке в данной точке с векторами напряжений на трёх координатных площадках в этой же точке.
Возвратимся к интегральной формулировке (6.34) II постулата MCC и подставим в (6.34) выражения (6.35) и (6.48). Преобразуя поверхностный интеграл согласно формуле Остроградского-Гаусса,
Sw =
ViP1 dV =
V-P =
Div PdV, (6.56)
E V VV
запишем
- pF- ViP1 ) dV = 0. (6.57)
V К
80
Лекция 6
Отсюда, а также из основной леммы следуют уравнения движения сплошной среды:
d 71 —* * —* d 71 —*
р— = ViP1 + PF или р— = Div P + PF. (6.58)
LLL LLL
Векторные уравнения движения (6.58) представляют собой дифференциальную формулировку закона об изменении количества движения (II постулата МСС). Если правые части в (6.58) равны нулю тождественно, то говорят о статике. В этом случае уравнения
Div P + pF = 0 (6.59)
называются уравнениями равновесия.
Если же величины, входящие в уравнения (6.58), зависят от времени, но силы инерции pdv/dt пренебрежимо малы по сравнению со слагаемыми в левой части (6.58), говорят о квазистатике. В этом случае также пользуются уравнениями равновесия (6.59).
ЛЕКЦИЯ 7 ОСНОВНЫЕ ПОСТУЛАТЫ (продолжение)
Рассмотрим третий постулат механики сплошной среды — закон об изменении момента количества движения. Пусть тело в актуальной конфигурации занимает объём Г2 Є M3. Введём в рассмотрение вектор В
В =
г х (pv) dV
(7.1)
V
момента количества движения (кинетического момента) сплошной среды, заключённой в жидком объёме V с границей S (V Є О). Аналогично вектору количества движения Q он является обобщением момента количества движения материальной точки и абсолютно жёсткого тела.
Закон об изменении момента количества движения (III постулат МСС). Пусть V — произвольный жидкий объём в V Є О, a E — его граница с единичной внешней нормалью N. Тогда в любой момент времени
<№
dt
г х (pF) dV +
г х SW dE,
(7.2)
V
т. е. производная по времени от момента количества движения среды, заключённой в Vf равна сумме моментов объёмных сил, приложенных к Vf и моментов поверхностных сил, действующих на Е.
Для вывода соответствующих дифференциальных соотношений, как и ранее, сведём все слагаемые в (7.2) к объёмным интегралам, после чего воспользуемся основной леммой. По лемме 1 (6.29) имеем
= ~т~ г х (pv) dV = р(г х v) dV =
ClU ClU ClU
V V
6 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский
82
Лекция 7
р—(г X v) dV =
р{у х v) dV +
у
У
У
Plr'x^l ,IV =
fx^ft I ^ (7 3)
У
Подставляя далее в (7.2) вместо выражения (6.48),
получим
г х dT =
г х PtNidL =
V,(r х Pl)dV =
v
(Vi
гхРг + г X ViPl)dV =
Ei х P1 dV +
V
V
+
г X Div P dV. (7.4)
у
С учётом (7.3) и (7.4) соотношение (7.2) может быть записано следующим образом:
dv
г х р
V
dt
pF -DivP Uy =
E1 х P1 dV.
(7.5)
V
Выражение, стоящее в скобках в левой части (7.5), в силу уравнений движения (6.58) равно нулю. Тогда по основной лемме в каждой точке
О = EiXpi = EiX EjPij = Pij Vg eijk Ek, (7.6)
откуда следует
ри = рзгв (7.7)
