Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
dA = daiEi, dB = dbjEj, dC = dckEk. (3.49)
42
Лекция З
Их длины равны \dA\ = Gij da1 dai, \dB\ = Gij dbl dW, He і = dc% dci. Для этих векторов справедливы нижеперечисленные операции.
а) Скалярное произведение
dA-dB = G%Jdal dV. (3.50)
б) Векторное произведение
dA XdB = VgCijkdai db> Ek = -^eijkdai dbj Ek, (3.51)
V G
(3.52)
= N = VGeijkdai db> Ek, dTia = NadTi = VGeijada1 dip.
B (3.52) N = NkEk — единичная нормаль к площадке dE в актуальной конфигурации.
в) Тензорное произведение
dA ® dB = daг dtp Ei ® Ej. (3.53)
г) Смешанное произведение
(dA х dB) ¦ dC = Vg Cijkdai db> dck, (3.54)
dV = VGeijkdai dV dck. (3.55)
Рассмотрим теперь величины, характеризующие актуальную конфигурацию среды. Так, относительное изменение длины “материального” вектора da имеет вид
I = Ш = J G”fdf . (3.56)
I^aI V Qmndam dan Если а = г, то согласно (3.1) и (3.2)
\dr\_=ds_= Gjj dgd# , .
|dr01 dsQ у gmndtmd?,n'
Относительное изменение площади dHо получим из (3.37) и (3.52):
dX Tia G /Q ГЛ\
йёГаЦ/? <3'58)
а относительное изменение объёма d\о — из (3.40) и (3.55):
Инвариантность кинематических величин
43
Векторы da и db ортогональны, но векторы dA и dB, вообще говоря, таковыми не будут, ибо
cm(dA, dB) = -. (3.60,
\dA\ \dB\ ^Gijdai dW^/Gkl dak db1
Рассмотрим теперь некоторый вектор а с компонентами аг в отсчётной и A1 в актуальной конфигурациях:
а = агег = АгЁи (3.61)
и возьмём частную производную по от всех частей равенства (3.61). Получим
» _ + a.gU + АШ. (3.62)
Равенства (3.62) запишем следующим образом:
(г п о _^
= V^a = VjakSk = V0AkEk, (3.63)
где введены ковариантные производные контравариантных
компонент векторов а и А:
V = “Ъ V. VjAi вА% ,^* + Г,/Л'.
(3.64)
О
Величины и TiJk представляют собой символы Кристоф-феля второго рода соответственно в отсчётной и актуальной
о
конфигурациях. Из (3.62) и (3.64) следует, что T^k являются коэффициентами разложения векторов деі/д& в базисе ё{\
H=V «¦ P-65)
a TiAk суть коэффициенты разложения векторов OEi/в бази-
се Ei
§§ = V&. (з.бб)
Скалярно умножая обе части равенств (3.65) и (3.66) на е1 и E1 соответственно и учитывая (3.11) и (3.47), получим еле-
44
Лекция З
дующие явные выражения для Yij1 и Yi-1:
= = г 1 = &.дЛ = _Е-.д-^
13 д& г д&' 10 д& г
Покажем, что
(3.67)
г а1 = Vm (?? + -1?) • (3.68)
2 у dtf дд(т
р /_ . dGjm 8Gij\
fv~2G \w + ^r~w)' ( }
Для этого воспользуемся определением (3.6) и преобразуем выражение, стоящее в правой части (3.68) в скобках:
dgim . dgjm Qgij _ -» дет дві
W дZi ~ д?™ ~ вг' ~д&~ вт ' ~д&
+ е-.^ + е .^-е.^-е-^ = 2е (3 70)
3 д^г т д^г 1 д^т 3 д^т т *
Приведение подобных слагаемых в (3.70) произошло в силу равенства смешанных частных производных:
Sei _ д2г _ д2г _ Oej Г37П
д& ~ (Ki д& ~ д& (Ki ~ O^i ’ ' ’ '
Умножим, наконец, оба конца цепочки (3.70) на glm/2 и с учётом (3.67) получим требуемое равенство (3.68). Совершенно аналогично доказывается и равенство (3.69).
Формулы (3.65), (3.71) указывают на симметрию символов Кристоффеля второго рода по нижним индексам:
Tijk = Tjik' Tijk = г/- (З-72)
о
Из символов Yij1 и Y-1 путём опускания индексов можно
о
получить символы Кристоффеля первого рода Y^n и Г^;п:
° ° де'• -» дЕ
Fij;n = Fij gin = en • -ЩТ, Yij-Jl = Yij Gin = En • (3.73)
которые также симметричны по первым двум нижним индексам.
Подставим в (3.73) выражения Yij1 и Y-1 из (3.68) и (3.69), будем иметь
I (dgin ( dgjn ^gij\
Инвариантность кинематических величин
45
_ 1 (dGin OGjn dGij \
Lij;n~ 2\д& + д? дСп)' [ }
Разложим вектор а (3.61) в базисах ег и E1 отсчётной и актуальной конфигурациий:
а = ще1 = AjEi. (3.76)
Дифференцируя соотношения (3.76) по и пользуясь (3.67), получим
|| = VjS = VjakCk = VjAkEk, (3.77)
где введены ковариантные производные ковариантных компонент векторов а и А:
А дак ° і л а дAfc і
Vjazc = akj = -щу — Fkj щ, VjAk = Ak^ = Г^- Л/.
(3.78)
При этом
§ --V* Ц=<з-79)
Заметим, что соотношения (3.65), (3.66) и (3.79) могут быть записаны следующим образом:
Vjei = 0, VjEi = 0, Vjei = 0, VjEi = 0. (3.80)
Аналогично имеем для любого тензора, например для тензора Ь:
Ъ = VjCi <Э ej = BijEi 0 Ej, (3.81)
дЬ =Vkb = VkbijSi <g> ej = VkBijEi ® EP, (3.82)
де
где
Obt
Wj = ^ ~дф + rV^ -Yk3lVl, OBii . , , .
V7 Г? I — Г?1 — J і "Г г Dt Г ‘Di
VkB j = В jlk = -^jr + LklBj-LkjBl.
(3.83)
Как следует из вышеприведённых обозначений, запятая в нижнем индексе означает ковариантную производную в отсчётной конфигурации, а вертикальная черта — ковариантную производную в актуальной конфигурации.
46
Лекция З
Отметим, что ковариантные производные величин, не имеющих индексов, совпадают с соответствующими частными производными, причём такой величиной может быть не только скаляр с, но и любой инвариантный объект, например вектор а или тензор второго ранга Ъ. Этот факт отражён в формулах (3.63),
