Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
постоянна для любого контура С, охватывающего трубку тока, и представляет собой напряжённость трубки тока. Величина iv также равна потоку скорости через любое сечение трубки тока.
Вторая теорема Гельмгольца. Вихревая трубка не может начинаться либо обрываться внутри тела, а должна быть замкнутой либо выходить на границу тела.
Действительно, в силу того что поток вихря через любое сечение вихревой Трубки постоянен, модуль вектора UJ в месте обрыва трубки или стягивания её в одну точку был бы равен бесконечности. В природе замкнутыми вихревыми трубками являются, например, кольца дыма, выходящего из трубы. Водоворот также представляет собой вихревую трубку, один конец
Элементы векторного анализа
35
которой упирается в дно, а другой выходит на поверхность водоёма. Особо опасен смерч — трубка, обладающая огромной напряжённостью и способная, как известно, вырывать с корнем деревья и переносить тяжёлые предметы на большие расстояния. Один конец такой трубки опирается на землю или поверхность океана, а другой уходит в слой облаков.
Возьмём теперь производную по времени от циркуляции скорости по кривой, соединяющей точки А и В на рис. 17:
dY AB dt
d_
dt
в
її • dr =
в в dv
Ht
S-Jt(Af) =
А
В
В
А
В
W • (I r +
V • dv =
W
1
2^
Ш- (2.68)
Если точку В устремить к А, тем самым образуя контур С, то \v\B —> \v\a, и из (2.68) будем иметь
d
dt
Ov - dr = Ow - dr.
(2.69)
с
с
Равенство (2.69) составляет утверждение кинематической теоремы Кельвина.
Теорема Кельвина. Производная по времени от циркуляции скорости вдоль замкнутого контура равна циркуляции ускорения вдоль того же контура.
Иногда теорему Кельвина формулируют и для разомкнутой кривой в форме (2.68).
ЛЕКЦИЯ З
ИНВАРИАНТНОСТЬ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Место, занимаемое частицей X в отсчётной конфигурации, описывается соотношениями (1.5), которые представим в виде
Го = Го^1,^2,^3,^) = хг0(?,1 (3.1)
В актуальной конфигурации место, занимаемое частицей, описывается соотношениями (1.6), которые теперь представим в виде
г = rUU2,*3,*) = Х*(?42,?,*)ёг. (3.2)
Если материальные координаты ?г и лагранжевы координаты Xq выбраны прямоугольными декартовыми, то расположение индексов (вверху ИЛИ внизу) у компонент радиусов-векторов Го и г не имеет значения:
e = ti, Xt0 = X0i. (3.3)
Иначе обстоит дело, если выбранная система координат является криволинейной. Даже если координатные линии, составленные из материальных частиц хг0 = const или = const в отсчётной конфигурации были прямолинейными, то в актуальной конфигурации они, вообще говоря, становились кривыми. В некоторых случаях и в недеформированном состоянии бывает удобней вводить ту или иную криволинейную систему координат. Предположим поэтому, что линии =
= const (і = I, 2, 3), выбранные в некоторой точке (3.1) (рис. 20), таковы, что выполняются условия
дхг0
/о.
(3.4)
Тогда тройка векторов _ дг0
вг ~
так называемого ковариантного локального базиса отсчётной конфигурации будет некомпланарной.
(3.5)
Инвариантность кинематических величин
37
Определим теперь ко вариантную фундаментальную матрицу отсчётной конфигурации:
Qij — Qji = ^i * Cji Q= \Qij\ ~f~ 0- (3-6)
Согласно (3.5) и (3.6)
1?! — \/^a ' ^a — у/Qaa- (3-7)
Обратная к gij матрица дгэ, удовлетворяющая соотношениям
QlkQkj = Vj, Qjkgki = Sf, 9lj=9ji, Wj \ = ~, (3.8)
1
Q
называется контравариантной фундаментальной матрицей отсчётной конфигурации.
Путём поднятия индексов у векторов ковариантного локального базиса
ег = g%3ej (3.9)
можно получить контравариантный локальный базис ег отсчётной конфигурации. Вообще говоря, он не является голоном-ным, т. е. связанным с какой-либо системой координат. Заметим, что
ег • ej = glkgilek • Єї = gikJ19kl = Sil9V = g*, (3.10)
Єо =
¦З - QjkZt • ek = gjkgkl = S/. (3.11)
Рассмотрим произвольное векторное поле а в отсчётной конфигурации. В каждой точке вектор а может быть разложен по векторам как базиса (3.5), так и базиса (3.9):
а = агЄі = щег. (3.12)
Пусть — новая криволинейная система координат, связанная со старой законом преобразования
е' = ^1,^3)- (3.13)
При этом
д^г
ф 0. (3.14)
Тогда матрица Ai = /д^г будет невырожденной в каждой точке и существует обратная ей матрица B1i, = д^г/д^г :
AiljBjjl = Si),, BijlAfj = Sij. (3.15)
38
Лекция З
Векторы локального базиса в новой системе координат (3.13) выражаются через базис (3.5) следующим образом:
дто дто дEi
* = W=a?W = (ЗЛ6)
Разложим теперь вектор а по векторам базиса (3.16):
а = а? еу = аг'ёгВгг(3.17) Из (3.12) и (3.17) имеем
аг = BiiZai'. (3.18)
Умножая обе части (3.18) на Aji, суммируя по і и учитывая (3.15), получим
AjfiCLi = AjllB1lia1' = 53'г,аг' = о?'. (3.19)
Умножив скалярно вектор а (3.12) на ёу.
а • ёj = Ci1Qij — ^iS1 j = dj, (3.20)
в новой системе координат из (3.20) будем иметь
Ojt = а • ёу. (3.21)
Учитывая (3.16) и (3.20), получим из (3.21)
