Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
КдФ- и АКНС-иерархий это будет бесконечномерная алгебра петель, связанная
с si (2)), которая возникла бы при использовании метода Уолквиста - Эста-
брука, обсуждаемого в первой части гл. 5.
Однако по-прежнему существует много досаждающих вопросов. Крускал
постоянно подвергал сомнению необходимость устранения логарифмической и
других особенностей. В самом деле, кто стал бы отрицать, что уравнение
dy/dx - (у - а)Х X(У - Р) (У - у)... является интегрируемым (так ли это?)
и тем не менее х как функция у имеет логарифмические особенности. Более
того, число контрпримеров предположению, что полностью интегрируемые
дифференциальные уравнения имеют свойство Пенлеве (на что указывалось в
последней серии статей), растет, и самая последняя весть из Парижа (где
работает группа Рамани) состоит в том, что тест Пенлеве умер! Хотя это
вне всякого сомнения, является преувеличением, тем не менее ясно, что
необходимы некоторые изменения. Крускал сделал предположение, что тест
Пенлеве - слишком сильное утверждение, и он считает, что необходим более
тонкий тест, в котором
т-функция, метод Хироты, свойство Пенлеве
185
анализируется поведение уравнения вблизи слияния полюсов (т. е.
"наихудшее" сингулярное поведение уравнения). Его идея нова, и я не буду
пытаться здесь описывать ее до тех пор, пока она не будет опубликована.
Идея имеет по крайней мере две привлекательные черты. Первая состоит в
том, что она содержит исходный тест Пенлеве в случае, когда он применим.
Однако более важно то, что она ведет в сердце природы интегрируемости
(что такое полностью интегрируемая система?) и непосредственно связана с
тонкими свойствами, отличающими эрго-дические и интегрируемые потоки на
компактных многообразиях. (Например, х' = а, у' = $ представляет собой
интегрируемый поток на торе 0 < х, у < 1 (на котором склеиваются
противоположные границы) только в том случае, если отношение аир
рационально. Почему? Причина в том, что на торе интеграл движения С = $х
- а у ведет себя очень нерегулярно и в действительности неизмерим, если
а/p иррационально.)
4f. Преобразование Бэклунда. Центральная и постоянно повторяющаяся тема
метода обратной задачи рассеяния состоит в том, что рассматриваемые
нелинейные уравнения возникают как условия интегрируемости
переопределенных линейных систем. Мы показали, каким образом уравнение
КдФ и все члены его семейства представляют условия интегрируемости
линейных уравнений вида
vxx + (?2 + q(*, tz, . :.))о = 0
(4.82)
и
(4.83)
Запишем пару уравнений для уравнения КдФ (4/ = tz)
qt + 6 qqx + qXxx = О
(4.84)
в виде системы
(4.85)
и
(4.86)
где F = (ai=-vx + it,v, v2 = v)T. Потерпите, пока я выполню следующие
небольшие вычисления. Определим
186 Глава 4
и найдем
Ух = - 2/?y + q + Y2. (4.88а)
Y* = (- 8г'?3 + 4iq? - 2qx) у +
+ № + 2iqxl - qxx - 2q2) - (2q - 4?) y\ (4.88b)
Условием интегрируемости этих уравнений Риккати также является (4.84).
Далее положим
q = их, q = их,
откуда и(х, t) удовлетворяет уравнению
"t-4 + "xxx=0 (4-89)
(мы положили константу интегрирования равной нулю) или (в зависимости от
того, какое t мы взяли в иерархии КдФ) соответствующему члену данного
семейства, проинтегрированному один раз по х. Определим й формулой
Y -i? = ±=L". (4.90)
Утверждается, что если и(х, t) удовлетворяет (4.89) (или для других t
другим членам семейства КдФ), то (х, /) также удовлетворяет (4.89) (или
соответственно другим членам указанного семейства). Сейчас мы докажем
это. Однако сначала рассмотрим дальнейшие следствия этих утверждений.
Подставляя (4.90) в (4.88), найдем
= (4.91а)
И
и. т и. (и - й\ /и -н\2
-J-2~L ^х(-2-) - 2Ч\ГТ-) + * ~ (4'91Ь)
Уравнения (4.91) представляют однопараметрический (с параметром ?2) набор
соотношений
R/ {и, ихх, Uf, и, их, ихх, и,{, ?2) = 0, (4.92)
включающих й, и и их частные производные. Соотношений здесь меньше, чем
переменных. Далее, нам известно, что и{х, t) удовлетворяет (4.89). Я
предлагаю читателю прямыми вычислениями показать, что й(х, t) тоже
удовлетворяет (4.89). Существует также другое доказательство, которое
позволяет глубже проникнуть в тесные связи между уравнениями (4.91) и
(4.85),
(4.86), (4.88). Используя (4.91а), мы можем показать, что (4.91)
т-функция, метод Хироты, свойство Пенлеве
187
можно также записать в виде соотношения й. + и. / а - и \ / й - ы \2
= 2qx (rT-) - 2q ( -j-) + q2 - 2?q, (4.91c)
которое есть просто (4.91b), где переставлены местами и и й. Поэтому
уравнения (4.91а, с) можно записать как (4.88а, Ь), где произведены
замены у->--у, ?-"--? и вместо q стоит q. Но перемена знака у и ? не
нарушает условий разрешимости, и поэтому q(x, t) удовлетворяет (4.84) и
й(х, t) удовлетворяет (4.89).
Мы назовем набор соотношений, подобных (4.91), преобразованием Бэклунда.
Оно позволяет построить сложные решения из более простых. Например, если
мы возьмем и = 0 и решим полученную пару уравнений первого порядка (4.90)
по х и t, мы найдем й (х, t) = -2r| th г| (х - 4л2/ - х0), ? = пр Для
