Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Представлением Хироты для (КдФ)б является
P<el>(Dti.Dt',Dti) т-т = 0, (4.60)
и (4.59Ь) представляет собой уравнение, найденное "применением" Djt к
Р4(Л 1, DtJ т • т = 0.
Отметим, как важно располагать в задаче тремя временами. (КдФ)5 не может
быть выражено в представлении Хироты только в терминах t\ и fg!
Я предоставляю читателю убедиться в том, что
Ра ' = Х\Х7 ~ Т х&ь + Т х?х5> (4.61 а)
П2) = *1 + 4х^х5 + 5х3х5, (4.61Ь)
Р<а3) = - % + *з*1. (4-61с)
Я?" = -х?х5 + х|*?, (4.61 d)
где Р(8г)т-т = 0, г - 1, 2, 3, 4. Р^х • т = 0 является
представлением Хироты для (КдФ)7. Р%К г = 2,3,4, являются
тем,
что возникает в результате "применения** Л?" Л*, и D\ к соответствующим
комбинациям (4,59а, Ь) и (DtlDt3 + Dt,) т • т = 0.
Повторяя этот процесс, нетрудно видеть, что для каждого весового значения
Р2М, М> 2, существует несколько многочленов Хироты. Я укажу вам лучший
способ интерпретации этого по сравнению с просто "применением Л?, к
(4.37)", когда мы вновь будем обсуждать этот вопрос в гл. 5. Я также
предложу идею подсчета числа многочленов для каждого весового значения.
В качестве упражнения предлагаю читателю вычислить последовательности,
представляемые многочленами
Р - хххъ - х(r), (4.62а)
Р = х,х7 + х(r). (4.62Ь)
Р из (4.62а) порождает серию Котеры - Савады [104] и обладает
нетривиальными многочленами при бесконечном наборе
178 Глава 4
весовых значений, который не включает всех четных номеров. Можете ли вы
определить, что они из себя представляют? С другой стороны, (4.62Ь) не
обладает бесконечным набором многочленов с одной и той же функцией
фазового сдвига. Более того, похоже, что у него их вообще нет. Поэтому
оно имеет только двухсолитонное решение.
Также открытыми остаются следующие вопросы:
(i) Можно ли охарактеризовать свойства, необходимые для выражения
уравнения в представлении Хироты? Коль скоро уравнение представлено в
этом виде, известно, что оно обладает двухсолитонным решением. Имеет ли
оно iV-солитонное решение при произвольном N, зависит от того, можно ли
найти бесконечную серию Рм, удовлетворяющую условию
где Pl - заданный многочлен. Эта формула весьма содержательна, поскольку
она выражает то, что оказывается условием коммутируемости многочленов и
естественным образом приводит к определению скобок Пуассона на
многообразии многочленов.
(И) Предположим, что можно найти лишь конечное число таких Рм- Возможно
ли это или, если найден один Рм, то их должно существовать бесконечное
число? Если последнее неверно, то значит ли это, что при условии
существования М многочленов Рм существуют Af-солитонные решения вплоть до
Ns^N(M)?
4е. Свойство Пенлеве')
(i) Классический случай. Рассмотрим систему фуксовых дифференциальных
уравнений
где V есть m-мерный вектор, а А/ являются постоянными (т X т)-матрицами.
В общем случае фундаментальным решением уравнения (4.63) является
многозначная функция комплексной переменной г. Действительно, если мы
обойдем регулярную особенность в точке а/, то после обхода Ф = Ф(а/ + +
(г - а/)е2я'), причем фундаментальная матрица решений
(4.63) не равна Ф(г); вместо этого ее столбцы являются линей-
PL (k, - к2) Рм (ki + к2) - PL (к] + к2) Рм (kj - к2) =-- О,
(4.63)
') Смотрите на с. 197 историческое замечание об основополагающей работе
С. Ковалевской,
t-функция, метод Хироты, свойство Пенлеве
179
ной комбинацией столбцов Ф(г). Матрица М/, связывающая Ф(г) и Ф(а; + (г -
а/)е2я')>
Ф (а/ + (z - aj) е2*1) = Ф (г) М/, (4.64)
называется матрицей монодромии. Можно поставить следующий вопрос. Как
можно представить А/ в виде функции положения полюсов аг так, чтобы
группа (легко видеть, что они образуют группу) матриц монодромии не
изменялась? Общий ответ на этот вопрос был дан Шлезингером [90]:
= f%L = o. (4.65)
да" а, - a Z_i да. 4
• J • j /
Для т = 2 линейным уравнением является система 2X2, ее регулярные
особенности могут быть локализованы в фиксированных точках z - 0, 1, оо и
одна точка z - s подвижна. Вообще говоря, существуют двенадцать
подгоночных параметров - элементов матриц А/, j= 1, 2, 3, но все они
могут быть выражены в терминах одной функции y(s), которая удовлетворяет
уравнению
f+Of+7=Т+7=т) и' ~ i ('у + 7=7 + 7=т) -
-2 > VV (-"у+*тг^r-a^)-o. (4.66)
Уравнение (4.66) является наиболее общим уравнением второго порядка вида
</" = ?(</, </',*), (4.67)
где R - рациональная функция по у, у', аналитичная по s, которая имеет
следующее свойство.
Свойство Пенлеве. Положение любой алгебраической, логарифмической или
существенной особенности решений уравнения не зависит от начальных
условий. Это означает, что от произвольных констант интегрирования может
зависеть только положение полюсов.
Уравнения второго порядка вида (4.67) с такими свойствами (условия на R и
свойства Пенлеве) были изучены с исчерпывающей подробностью Пенлеве и
Гамбье [91]. Существуют пятьдесят канонических типов уравнений, которые
включают такие уравнения, как у" = у, разрешаемых в эллиптических
