Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
представлении Хироты все другие члены семейства и (с) найти все другие
многочлены Хироты, совместные с заданным, и определить, сколько их
существует? Ответами, по-видимому, являются ДА, ДА и ДА. Я покажу, как
подойти к доказательству, но, однако, я пока не придал ему строгость или
полноту. Я должен объяснить более подробно, что означает вопрос (с). Если
т такова, что удовлетворяет
{О, fit 3+ ""*•->-= 0.
то удовлетворяет ли она другому уравнению с весом 6? Заметим, что
многочлены Хироты однородны в том смысле, что если Dt2k+l мы поставим в
соответствие вес 2?+ 1 и будем складывать веса в произведениях, то каждый
член в уравнении Хироты имеет один и тот же вес. Например, вес, связанный
с (4.38), равен 4. Суть вопроса состоит в следующем. Дано, что т
удовлетворяет (4.38); каким образом "применить" оператор Д2 к этой
функции? Простым умножением это сделать нельзя.
т-функцня, метод Хироты, свойство Пенлеве
176
Четвертый вопрос, который приводит нас к выяснению связи всех различных
подходов, ставится следующим образом:
(iv) Существует ли алгебраический способ объяснения специального вида
многочленов Хироты? Я надеюсь, что это так. Что я хотел бы иметь, так это
ответ на вопрос (iv), который данные ограничения ставит в соответствие
алгебрам, связанным с si (2). Причина этого заключается в моей вере
(читатель увидит предпосылки этому в гл. 5) в то, что данное свойство
является "общим знаменателем" всех "методов" анализа солитонных
уравнений, введенных в данной главе.
Вернемся теперь к вопросам (i), (И) и (iii). Предположим, что Р
удовлетворяет (4.43) - (4.45), и будем искать трехсоли-тонное решение для
(4.51) в следующем виде:
•j J g6i ?02 ?0а -1_ ?0а+9з+Лц ?0з+01+^з1 -1_ ?01+02+^12
?01+0:4-03+^12^431+^23^
Используя свойства (4.43)-(4.45) и (4.50), убеждаемся, что все слагаемые,
исключая е0>+0"+0>, имеют нулевые коэффициенты. Коэффициент при е0Н-0"+0)
строится из четырех квадратичных взаимодействий и имеет вид
РтеАаР (ki - k2 - к3) + еА"+А"+А"Р (к( + к2 + к3),
где /?12з - циклическая перестановка индексов 1, 2, 3 и
Р (k,+k2+ кз) = Р (А, ¦+ k2+kv k\, Щ + Щ + Щ,...).
Это выражение также может быть переписано (с использованием (4.50)) в
виде
Ртр (k2 + к3) Р (к! - ка) Р (к3 - к,) Р (к] - к2 - к3) +
+ Р (к2 - к3) Р (ка - ki) Р (к, - к2) Р (к, + к2 + к3). (4.53)
Поэтому условием того, что (4.52) имеет трехсолитонное решение, является
равенство нулю выражения (4.53). Далее, аналогичным путем можно показать,
что условием существования N-солитонных решений уравнения (4.52) является
условие
Е Р ( Е И/k/) П Р (ц/к/ - р,к,) = 0. (4.54)
iy-1,1 \ 1 / l>i
Мы назовем его условием Хироты. Будем говорить, что уравнение, приводимое
к представлению Хироты с многочленом Р, удовлетворяющим (4.54) (и
некоторым дополнительным свойствам, подобным (4.23) - (4.25)), обладает
Н-свойством. В частных случаях, таких как (КдФ)3, где Р - лг,лг3 + х\,
можно показать, что (4.54) имеет место. Доказательство обычно проводится
176 Глава 4
по индукции. Однако мне представляется ясным, что это условие весьма
неуклюже, неудобно и трудно доказывается в общем случае, поэтому полезно
иметь альтернативный подход.
Я утверждаю, не имея пока завершенного доказательства, следующее.
Рассмотрим многочлен Pl(xi, х3, ...) с заданным весом и вычислим для него
функцию фазового сдвига
ел" = _ Mki~k2). (4 55)
Mkl + k2) ( }
Затем вычислим все многочлены Рм, которые обладают тем же фазовым
сдвигом. Зачастую их больше одного для каждого веса. Если существует по
крайней мере один такой многочлен для бесконечного ряда весов, то
справедливы три следующих утверждения:
(i) Pl является многочленом Хироты, т. е. для произвольного N обладает N-
солитонным решением (удовлетворяющим (5.54)).
(ii) Каждый Рм порождает уравнение Хироты /Vt-т = 0 в семействе Pl-
(iii) Каждое уравнение /Vt-т = О, содержащееся в списке, является
многочленом Хироты (т. е. удовлетворяет (4.54) и поэтому обладает А^-
солитонным решением для произвольного N).
Проиллюстрируем эти утверждения на некоторых конкретных примерах. В
качестве Р4 выберем хгх3 + х^. Тогда предположим, что Р6
имеет следующий вид (из (4.43) следует, что до-
пустимы только четные значения весов):
Р6 = х{х5 + ах\ + Ьх\хг + схаг
Ясно, что (4.43) и (4.44) удовлетворяются. То же верно для (4.45), если
1 + а - 6 + с = 0. (4.56)
Теперь потребуем, чтобы
(k[ + к2)2 Я6 (kj - k2) + (&i - k2) Pq (kj + k2) = 0 имело место для всех
k\, k3. Левую часть можно записать в виде 2 {К + k2f (к, - k2)2 {k\ +
k\k\ + k\ +
+ a (k* + Щк\ + k*) -b(kf + Щ + c(k\ + Щк\ + Щ.
Поэтому дополнительно к (4.56) мы должны выбрать
а = -2с- 1/3. (4.57)
Следовательно, поскольку с произвольно,
"-функция, метод Хироты, свойство Пенлеве 177
представляет собой однопараметрическое семейство многочленов Хироты с
весовым значением 6, базисными многочленами которого служат
Рв*(-*i> хзг х5' ¦ • •)= xixs 1Гхэ)" (4.59а)
If> (хх, х3, х5) = x* - 2x2 _ хзХз_ (4.59Ь)
