Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Солитоны в математике и физике" -> 62

Солитоны в математике и физике - Николис Дж.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике — М.: Мир, 1990. — 323 c.
Скачать (прямая ссылка): solitonivmatematikeifizike1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 113 >> Следующая

условия для (КдФ)з и рассмотрим эволюцию по времени /3 до тех пор, пока
не осуществится взаимодействие. Затем в качестве начального условия
возьмем q(x, t3, 0, ...) и предоставим достаточное время t7 в потоке
(КдФ)7- Так как скорость для (КдФЬ также положительна, дальнейшего
взаимодействия не происходит. Далее обратим процесс. Результирующая форма
q(x, t3, 0, t7, 0,...) должна быть той же, и поэтому одинаковыми должны
быть фазовые сдвиги, связанные с потоками /3 и t7.
Впоследствии мы будем часто пользоваться этим свойством, но вначале я
хочу познакомить вас с новым методом, изобретенным Хиротой, и покажу, как
строить М-солитонные решения. Хирота заметил, что слагаемые в (4.28) были
очень похожи на формулу Лейбница для дифференцирования произведения. За
исключением знаков, (4.28) до некоторой степени похожа на
оо
172 Глава 4
Хирота изобрел новый оператор Dx, определенный на упорядоченной паре
функций а(х), т(х) следующим образом:
Dxa • т = lim -- а {х + е) т (х - е) = ахт - стт*. (4.36)
е->0 ае
Это определение можно распространить на функции a{xit х2,...), х(хи х2,
...) бесконечного числа переменных и на операторы более высокого порядка
°ах\°ах1 ¦ ¦ • °ахП° • т = П СТ (*' + ег) х (Хг - егУ (4-37) Г= 1 гТ °гг
Например,
DxDtx •x = 2(E?xt - xxxi),
DiDx • х = 2 (хх - 4т х 4- Зт2 ).
X \ ХХХХ X XXX 1 XX/
В этих обозначениях уравнение КдФ (4.28) принимает очень компактный вид
(DxDt + D*) т-т = 0. (4.38)
Также упрощается вычисление многосолитонных решений. Для того чтобы
увидеть это, посмотрим, как операторы Dx, Dt действуют на экспоненты.
Легко показать, что
DmekiX . k# = _ kjm e(kx+kl)X' (4 39)
Для многочлена общего вида Р (Dx, Dt) = p (&, - k2, со, - co2)
(4.40)
В общем случае, если мы возьмем
= f (-lpATW , (4.41)
то
°^У'-ев1=
= P(ki-k! (~l)r(kf+1 - kf+l), .. .)Л+е/. (4.42)
Из этих формул можно видеть, почему коэффициенты при е201, e20i+e2(
е0!+2021 полученные при рассмотрении двухсолитонных решений,
автоматически обратились в нуль. Сначала отметим, что в случае класса
уравнений, с которым мы будем иметь дело,
P{-Du - Dt"> • • •)==7>(А," Dis, ...), (4.43)
Р(0, 0, ...) = 0 (4.44)
т-функция, метод Хироты, свойство Пенлеве 173
И P{b) = P{k,-k\ k5, ...) = 0. (4.45)
Последнее уравнение (4.45) выражает тот факт, что дисперсион-
ное соотношение для солитонного решения
т = 1 -{- е0, 0 = kx + Ш3/3 -}- Ш5/5 + ...
выполняется при to2r+i =(-^1)г/г2г+'. Более того, оно дает
однопараметрическое семейство поверхностей, на которых алгебраи-ч'еские
функции ххх3 + х\ или в общем случае Р{хх, х3, ...), очевидным образом
связанные с уравнениями Хироты (4.38), обращаются в нуль.
Вычислим функцию фазового сдвига A\2{ku k2) общего уравнения
P(Dtl, Dtl, ...)т-т = 0, (4.46)
выраженного в представлении Хироты. Р - многочлен от своих
аргументов. Возьмем
Т (tu t3, к, ...) = 1 + е01 + е02 + е0'+02+л'2, (4.47)
где 0/ = X (-1)г^/г+1^2г+1. Коэффициенты при е°, е201, e20J и е20,+2на
представляют собой Р(0) и поэтому равны нулю. Коэффициент при таком
слагаемом, как е201+02, возникающий при умножении е01+02 на е01, это
P(kx + k2-k2, -k\ + k\-k\, ...) = P(kx, -Щ, ...),
который также равен нулю. Единственным не равным нулю слагаемым является
ее>+0*, которое имеет коэффициент
Р (к, - к2) + еА"Р (kj + к2), где по определению
P(kl-k2) = P(kl-k2, + ...).
(4.48)
Таким образом, в общем случае
ел'2 = -Р ^kl ~ кг^ . (4 49)
е Р (k, + к,)
Так как для уравнения (КдФ)3 (4.38) многочлен Р(хр ху х5, ...) есть ххх3
+ х*, то
•А"=(т^Т,У- <4-5°)
еп
Кроме того, мы имеем мощный результат, состоящий в том, что поскольку
фазовый сдвиг каждого члена семейства КдФ один
174 Глава 4
и тот же, то члены данного семейства характеризуются всей совокупностью
многочленов P(Dt" Dtl, ...), обладающих в дополнение к (4.43) - (4.45)
свойством
(А, - k2f Р (к, + У + (А, + У2 Р (к, - у = 0. (4.51)
Для того чтобы представить это утверждение в должном контексте, давайте
проанализируем сделанное. Мы нашли, что введением преобразования (4.24)
уравнение КдФ можно записать в представлении Хироты
Р {Du, Dt ) т • т = 0, (4.52)
где P(xi, х3, ...) = xix3 + *i4- Далее я сформулировал утверждение, что
оно обладает Л^-солитонным решением для произвольного /V. Естественным
образом возникают следующие вопросы:
(i) Приводит ли каждый четный многочлен Р(х\, х3, ...) к появлению Af-
солитонных решений при N > 2? На основании последних расчетов нам
известно, что для любого четного Р можно всегда найти двухсолитонное
решение. Но как обстоит дело для N >2? Ответ отрицателен. Многочлен Р
должен будет удовлетворять жестким ограничениям.
(И) Можно ли в удобной форме охарактеризовать эти ограничения и
посредством этого выписать все многочлены Р(хь*з,••¦), которые допускают
W-солитонные решения? Мы будем называть их многочленами Хироты. Ответ
положителен. Мы можем задать более конкретный вопрос.
(iii) Задан многочлен Р, скажем ххх3-{- xj. Можем ли мы (а) определить,
имеет ли он W-солитонные решения для произвольного N, (Ь) найти в
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed