Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Солитоны в математике и физике" -> 70

Солитоны в математике и физике - Николис Дж.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике — М.: Мир, 1990. — 323 c.
Скачать (прямая ссылка): solitonivmatematikeifizike1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 113 >> Следующая

уравнению, что и и. Это становится понятным лишь потом, при анализе
симметрии
(4.114) и соответствующих временных соотношений.
4g. Появление алгебры Каца - Муди. В этой главе мы видим, что т-функция,
i(tu tz, t5 Uk+\, ...), содержит всю необходимую информацию о
пространстве решений для семейства КдФ. Она меняется одним из двух
способов. В первом случае она может изменяться из-за потоков, когда
независимые переменные {^ft-иКГ эволюционируют, а функциональная форма т
остается прежней. Например, двухсолитонное решение (4.47)
т = 1 -J- е9' -J- е(r)2 -j- е&>+&г+А'2,
о,=Ё<-1 )v+,w
о
эволюционирует под действием потоков, но по-прежнему остается
двухсолитонным решением. Во втором случае, как мы только что выяснили в
предыдущем разделе, т-функция может изменить свой функциональный вид под
действием преобразования Бэклунда, в то время как последовательность
независимых переменных {^2&+i}o° сохраняется неизменной. Каждое изменение
является действием группы, и в каждом случае новая т также удовлетворяет
всем уравнениям семейства КдФ, т. е. или бесконечной последовательности
квадратичных уравнений Хироты, или последовательности
Lkq=2dJh+;{nx- (4Л15)
Поэтому пространство решений семейства КдФ отображается совместным
действием потоков и преобразований Бэклунда. Ин-финитезимальные симметрии
формируют бесконечномерную градуированную алгебру Ли (алгебру Каца -
Муди), изоморфную центральному расширению алгебры петель si(2, С);
последняя обозначается как si(2, С). Этот подход развит в работе Дейта,
Дзимбо и Мивы [39]. Данная точка зрения противоположна подходу, развитому
в гл. 5, в котором часть si (2, С) используется как фазовое пространство.
Переход от последней картины, в которой решения представляются кривыми в
алгебре Ли, к предыдущей, в которой решения являются точками в простран-
7 А. Ньюэлл
194 Глава 4
стве представлений, т. е. x{t\, t3, ...), все еще не разработан логически
в рамках теории групп Ли, однако я попытаюсь объединить эти две точки
зрения посредством некоторых наводящих на размышления формул в разд. 5j.
Сейчас мы вернемся к задаче нахождения и представления инфинитезимальных
симметрий, соответствующих потокам и преобразованиям Бэклунда. Сначала
заметим, что действие потоков на т(/ь /з, •••) есть просто действие
трансляции аргументов и может быть представлено формулой
expf 2"2A+iar-)*(/" .... t2k+i ••¦) =
\ о 2k + 1 /
= т(^1 + а1, ^2a+i+"2a+i) (4.116)
при произвольных значениях аь ..., a2k+u Инфинитезимали действий этой
группы представляются последовательностью {d/dt2k+1}^. Заметим также, что
поскольку все интересующие нас величины
гА'"2'"т?ц7|пт <41,7>
являются вторыми логарифмическими производными от т-функ-ции, то можно
умножить т на экспоненту, аргумент которой ли-
оо
неен по {^а-и}<Г> т- е- на ехР 2 b2k+lt2k+l при произвольных
о
Ь\, b2k+\. Инфинитезимали этого класса симметрий пред-
ставлены посредством {?>a+i}(T- Для набора элементов {d/dt2k+1}" и {^2&+
i}o° генерируют алгебру Гейзенберга
[~dt7k+7' ^+i] = V
г д д Л (4Л18)
[dt2k+1 ' <5/2/+1 ] ~ °' Vzk+u f2}+i] - 0-
Еще раз напомню читателю, что эта алгебра является следствием симметрий,
возникающих из потоков и того факта, что существует класс эквивалентности
т-функций, причем все функции одного класса соответствуют одному и тому
же решению q семейства КдФ. Сейчас полезно перейти на язык метода
обратной задачи рассеяния. Мы знаем, что тип решения характеризуется
"начальными" данными рассеяния
S(0) = {R(I, 0), Im? = 0; = щ, Ь} (0) = e2V/)f}. (4.119)
Потоки линейно во времени изменяют данные рассеяния, меняя только фазу
коэффициента отражения и координаты местона-
t-функция, метод Хироты, свойство Пенлеве 195
хождения Xj солитонов. Изменение задается формулой
S(t) = {/?(?, 0)exp(2/ES2*+I/2*+1), Im | = 0; = ir\j, b} (t) = b} (0) exp
^2г ? lf+lt2k+x }.
(4.120)
(Отступление. Мы уже указали на то, что метод обратной задачи
представляет собой каноническое преобразование, которое старым
координатам q(x) сопоставляет новые переменные типа действие - угол (см.
[13], [70], [75]):
p = {p. = -2r^, p{t) = -3-\n(l-\R\>)}, ^ i2i)
Q = {<?/ = In bj, q (I) = Arg b (?)};
соответствующие скобки Пуассона также образуют алгебру Гейзенберга
{Pi, Ян} = V {Р (?), Я (!')} = б (? - 1'У,
все остальные скобки равны нулю. Я до сих пор не знаю способа
идентификации при помощи теории Ли этих двух гейзенберговских алгебр, а
также не знаю, является ли на самом деле одна из них проявлением другой.)
Потоки сохраняют тип решения. С другой стороны, преобразования Бэклунда
изменяют тип решения в том смысле, что они добавляют новые компоненты к
данным рассеяния. Например, начиная с вакуумного состояния
S = {R(t, 0) = 0, lmt = Q; N = 0}, можно построить односолитонное
состояние S = {R (t 0) = 0, 1ш | = 0; ?i = "т|,
Ь\ =ехр ^2тр;0 + J (-l)ft+1i12ft+1Wi)}--
применяя преобразование Бэклунда
т"ов = (АХ (?) + ВХ (- ?)) тстар, (4.122)
где Тстар - 1 и А(?) - оператор, задаваемый (4.18). В принципе можно
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed