Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
более общего и(х, t) труднее решить уравнение для й, поэтому существуют
значительно лучшие способы построения решений из старых, чем прямое
решение (4.91). Я вкратце покажу вам, как это делается.
Однако сейчас я хочу вернуться к понятию преобразования Бэклунда. В
литературе этот термин существует длительное время. Очень трудно найти
его ясное определение. Определение, которое я приведу, было дано Ханно
Рундом [95] и сейчас является общепринятым. Пусть и(х, t) и й(х, t)
удовлетворяют дифференциальным уравнениям в частных производных
Е(и) = 0 (4.93а)
и
D(u) = 0 (4.93Ь)
соответственно. Тогда набор соотношений
Я/(("), Ш), (0) = 0, /= 1, .... я, (4.94)
где (и) и (й) обозначают наборы, необязательно одинаковой длины,
состоящие из и, й и их различных частных производных, называется
преобразованием Бэклунда, если эти соотношения гарантируют следующий
факт: й удовлетворяет (4.93Ь) всякий раз, когда и удовлетворяет (4.93а),
и наоборот. Если и и й удовлетворяют одному и тому же уравнению, то перед
этим термином ставится приставка "авто". Набор соотношений (4.91)
является автопреобразованием Бэклунда, связывающим решения
соответствующих членов семейства КдФ. Первая половина этих соотношений
(4.91а) связывает решения всех членов каждого семейства. Преобразование
Миуры
q (х, t) = v2 (х, t) - ivx (х, t) (4.95)
188 Глава 4
связывает решения каждого члена семейства КдФ с каждым членом семейства
модифицированного КдФ, первым нетривиальным уравнением которого является
vt + 6v2vx + vxxx = 0. (4.96)
Из уравнения (1.12) гл. 1 (уравнение, которому удовлетворяет каждый член
соответствующих семейств, см. [96]) мы знаем, что если v(x, t)
удовлетворяет (4.96), то q(x, t), заданная соотношением (4.95),
удовлетворяет (4.84). С другой стороны, q(x,t), которая удовлетворяет
(4.84), может привести к v(x, t), не обязательно удовлетворяющей (4.96).
Действительно, решение (1.12) даёт
vt + 6v2vx -f vxxx = A exp (- 2i J q dy),
и поэтому мы не можем само (4.95) назвать преобразованием Бэклунда, если
не дополним набор соотношений (в данном случае добавлением одного
соотношения) другим соотношением (таким, как само уравнение (4.96)),
гарантирующим, что v(x, t) будет удовлетворять модифицированному
уравнению КдФ-Должно быть ясно, что если мы желаем сохранить центральное
понятие о том, что q является функцией бесконечного числа независимых
переменных, то преобразование Бэклунда, которое взаимоувязывает решения
целого семейства, обязательно должно быть бесконечным рядом соотношений,
включающих все производные по времени. Можно формально вывести их точно
тем же способом, как мы получили (4.91Ь). Более быстрый и
элегантный путь представлен в разд. 5g, где мы определяем пре-
образование Бэклунда в терминах действий над т-функцией. Вспомним, что
Y-" = -g-(4.97)
и так как обе функции и(х, t) и й(х, t) удовлетворяют (4.89), то мы можем
записать
и (х, t) = - 2-j^- In т, й (х, t) = - 2 -Jj In т. (4.98)
Поэтому уравнение (4.90), которое определяет й, это просто
т = тц. (4.99)
Необходимо иметь возможность обратить формулу; а именно, пусть
т = тй (*, С), (4.100)
т-функция, метод Хироты, свойство Пенлеве
189
где v - решение уравнения (4.82), в котором q заменено на q. Но из
(4.91а) мы можем записать
q = -q-2^r-2l\ (4.101)
и поэтому 1/у удовлетворяет
(т)" + " + "т-о-
Важно подчеркнуть, что ? в (4.97) - (4.101) является конкретным значением
параметра, характеризующим солитон, на который решение q богаче, чем
решение q. Поэтому мы его обозначим В качестве примера я оставлю читателю
показать, что если v(x, ?i) = yi(x) удовлетворяет (4.82) с ? = ?i и q =
q, v(x, ?) удовлетворяет (4.82), то
0 (х, 0 = vx (х, С) - v (х, 0 (4.102)
удовлетворяет (4.82) с учетом замены q на q (заданным формулами (4.90) и
(4.92) или (4.101)). Этот результат принадлежит Фаддееву [96].
Скомбинируем эти результаты с результатами разд. 3d и определим/что
делает преобразование Бэклунда с данными рассеяния. Я буду придерживаться
работы Флашки и Маклохлина [96].
Пусть потенциал q(x) обладает данными рассеяния
S[q] = {R(Q, C(ImC = 0); ", = &]" Y/)/l2}-
Для того чтобы €(х, ?) не имела полюсов в нуле im(x), мы должны
потребовать, чтобы лежала слева от спектра, связанного сд(х),в этом
случае im(x) не имеет нуля на (-со, со). Возьмем (полагая А ф 0)
Vi (х) = Лф (х, ?,) + Вф (*, Si).
Повторяем, что поскольку ^ не принадлежит спектру, связанному с q, ф(х,
Е^) и ф(х, ?i) линейно независимы. Далее выберем v(x, ?) таким образом,
что v{x, Е;)=ф(х, ?), т. е. v{x, ~ е%х при х ->¦ оо для вещественных ?. В
качестве простого упражнения предлагаю показать, что п(х, ?) = (й;-t)i)-
4|)(x, ?), если В Ф 0, и равна (it, + T)i)-1t|)(x, ?), если В = 0. Если
Вф 0, то при
190 Глава 4
что при сравнении с (3.62) означает, что (напомним: /?(?) = = b(t)/a(t))
й(?) = 1т?га(а = =
(4.103)
и связанным состояниям отвечает ?/ = tr]/ при / = 1, ..., N, где у/ =(t]i
+%)/(т|1 - Л/)У/ (просто взят вычет /?(?) в точке ? = = *т1/)> / = 2,
