Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
построить все решения из вакуумного состояния преобразованиями Бэклунда,
но в действительности анализировать можно только многосолитонные решения.
Группа из Киото предпочитает считать многосолитонные решения плотным
множеством в пространстве всех решений, но они не поясняют, в каком
196 Глава 4
смысле следует понимать это. Однако в целях продолжения нашего обсуждения
примем эту точку зрения. Для многосоли-тонных решений можно переписать
(4.122) в виде
*"<>¦ = (1 + РУ(?ЖтаР, (4.123)
где (3 = В/А = е~2цХ° описывает начальное положение солитона,
который мы собираемся добавить, а
Г (0 = ехр (- 2г | J-w) exp (| ¦
(4.124)
Соотношение (4.123) справедливо, так как всегда можно выделить из т
экспоненциальный множитель, аргумент которого линеен по времени. Читателю
следует доказать, что
Y (?) Y (?') 1 = )2 ехр (- 2/ ? (S"+i + } t2k+^. (4.125)
Заметим, в частности, что У2 (5) 1 = 0, и поэтому можно записать (4.123)
в виде
'Гнев = ехр (рУ (?)) тстар. (4.126)
Инфинитезимальное действие (при хо->-оо р становится меньше
и меньше) задано вершинным оператором У(?). Формально У(5) может быть
представлен как бесконечный ряд Лорана
Y(Q=ZY2kU2k+l-
- оо
Поскольку операторы У(?), У(?') не коммутируют, когда ?-f?' = 0 (из-за
того, что множитель (? + ?')2 входит в знаменатель (4.125)), коэффициенты
У2*+1 удовлетворяют нетривиальному набору коммутационных соотношений
[39].
Важным обстоятельством является следующее. Леповски и Уилсон [102]
показали, что эти соотношения совместно с алгеброй Гейзенберга (4.118)
изоморфны бесконечномерной градуированной алгебре Ли (алгебре Каца -
Муди) si (2, C)(r)Z, обозначаемой А\1), т. е. центральному расширению
лагебры петель для si(2, С). Каждый член в si(2, С) является
произведением градуирующего параметра Я, умноженного на элемент из si(2,
С), который может быть записан в матричном представлении как hH -f еЕ +
fF с базисными векторами
/1 0\ /0 1\ /0 0\
Мо -.)• Чо о)' Ml о)-
т-функция, метод Хироты, свойство Пенлеве
197
Поэтому мы имеем один ответ на вопрос: "Какое отношение имеет si (2, С) к
КдФ?" Решения солитонных уравнений семейства КдФ образуют орбиту (набор
всех т(/ь /3, ¦¦•)) вектора с наибольшим весом (соответствующего т=1) в
базисном представлении si (2, C)(r)Z. Алгебра действует на решения как
алгебра симметрий. Альтернативная точка зрения, в которой алгебра
используется как фазовое пространство, и связи между этими двумя точками
зрения приведены в гл. 5.
Историческое замечание. При анализе уравнений движения волчка общего вида
Ковалевская обнаружила, что в двух частных случаях (волчки Эйлера и
Лагранжа), для которых была известна интегрируемость, решения содержали
эллиптические (c)-функции и не имели сингулярностей, кроме полюсов, для
конечных комплексных значений времени. Она заинтересовалась, может ли это
свойство (которое мы сейчас называем свойством Пенлеве) иметь место для
волчка общего вида. Выяснилось, что ответ отрицателен, но во время своих
исследований Ковалевская открыла новые типы соотношений параметров (между
моментами инерции и т. д.), для которых данное свойство имеет место и
уравнения волчка интегрируемы. Поэтому Ковалевская была первой, кто
использовал свойство Пенлеве. Читателю следует ознакомиться с работами С.
Ковалевской, Acta. Math., 12 (1889), pp. 177ff; 14 (1890), pp. 81 ff.
Смотрите также статью X. Иосиды в работе, цитированной в [39].
ГЛАВА СВЯЗУЮЩИЕ ЗВЕНЬЯ МЕЖДУ ЧУДЕСАМИ СОЛИТОННОЙ МАТЕМАТИКИ
5
5а. Обзор. В этой главе мы изучаем математическую структуру солитонных
уравнений и пытаемся развить подход, из которого большинство (если не
все) чудес солитонной математики возникают как естественные следствия.
Как минимум мы хотим увидеть некоторую общую нить, связывающую их
воедино. Эти чудеса включают в себя:
1. Бесконечное число локальных законов сохранения и симметрий;
принадлежность бесконечному семейству коммутирующих потоков; гамильтонову
структуру (иногда структуры).
2. Эквивалентную формулировку нелинейных уравнений в билинейной форме
(уравнения Хироты); т-функцию, которая, рассматриваемая как функция
бесконечного числа независимых переменных, содержит богатую информацию о
многообразии решений; свойство Пенлеве.
3. Связь с линейной задачей на собственные значения; обратную задачу
рассеяния; изоспектральную, изориманову поверхность и изомонодромные
деформации; задачу Римана - Гильберта.
4. Преобразования Бэклунда и Шлезингера; вершинные операторы.
5. Идеи Уолквиста - Эстабрука и наличие богатой алгебраической структуры;
"что общего у si (2, С) с НУШ и КдФ?"; понятие редукции и связь со схемой
"одевания" Захарова - Шабата.
Ключевые моменты нашего нового подхода состоят в том, что соответствующее
фазовое пространство, в котором "живут" (одномерные по пространству)
солитонные уравнения, является алгеброй Каца - Муди (бесконечномерная,
градуированная алгебра Ли), и в том, что каждую зависимую переменную
важно считать функцией бесконечного числа независимых переменных (времен
