Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
потоков tk), из которых ни одна не выделяется среди других. Одну из
переменных важно выделять только в том случае, когда зависимым переменным
мы приписываем некоторое глобальное поведение в виде функций одной из
независимых переменных. Это имеет место например, если мы хотим решить
Связующие звенья между чудесами солитонной математики
199
интересующее нас уравнение с начальными условиями. Результаты, описанные
в этой главе, получены совместно с моими коллегами Германом Флашкой и
Тюдором Ратиу из Аризонского университета и опубликованы (или скоро
появятся) в серии статей в журнале Physica D [38].
Желательно также понять удивительные связи между солитонной математикой и
нелинейными интегрируемыми уравнениями в частных производных с другими
точно решаемыми моделями статистической физики, такими как модель
взаимодействия ближайших соседей Изинга. В настоящих лекциях я сошлюсь на
эти последние достижения [103], но не буду развивать их подробно. Ничего
не будет сказано и об иерархиях солитонных уравнений с пространственной
размерностью, большей чем единица, но интересующемуся читателю следует
знать о работе [39]; в этой работе группа из Киото обсуждает иерархию
уравнений КП (Кадомцев - Петвиашвили). (См. также упражнение ЗЬ (5).)
План главы таков. В разд. 5Ь мы покажем, как, отправляясь от уравнения
или от системы уравнений, можно выяснить, является ли оно интегрируемым,
и если да, то как можно найти алгебраическую структуру фазового
пространства решений. Используемый метод является вариантом метода
Уолквиста - Эстабрука, который следует его основным идеям, но стремится
избежать терминологии дифференциальной геометрии. В частности, мы
покажем, что алгебраическая структура иерархии АКНС является изоморфной
подалгебре алгебры si(2, С), а
оо
именно алгебре петель 2 X-fcJ, е si (2, С), ассоциирован-
- ОО
ной с si(2, С). Как указывают многие вычислительные результаты, похоже,
что более подходящей может быть расширенная алгебра Каца - Муди А(\\
состоящая из AV)(sl(2, С)(r) Z) с добавлением дифференциального члена.
Однако с использованием А[1) связаны некоторые трудности, которые я буду
обсуждать в разд. 51.
Идеи Уолквиста - Эстабрука обосновывают выбор фазового пространства.
После того как установлено и осознано, что фазовое пространство является
прямой суммой двух алгебр К, N, в которых ортогональное дополнение К1
одной из них является двойственным (N*) другой по отношению к
соответствующим образом определенному внутреннему произведению,
существует естественный путь для определения скобок Пуассона и
гамильтоновых векторных полей на К1 = N*. Если последние порождаются
функциями специального класса, так называемыми ad-инвариантными функциями
Фk, сразу же возникает бесконечное
200 Глава 5
семейство коммутирующих потоков в лаксовой форме Qt =
= [Q(ft), Q]. где Q является общим элементом в фазовом пространстве
(двойственном к одной из подалгебр), и Q(ft) = ЯлгУФ*, где V является
градиентом и пн - проекцией в подалгебру N. Все свойства коммутируемости
являются автоматическими следствиями очень общих теорем. Этот материал
содержится в разд. 5с. Раздел включает также обсуждение того, как
соотносятся потоки и гамильтоновы структуры, введенные описанным выше
способом, с потоками и гамильтоновыми структурами, которые возникают,
если х является выделенной переменной, как, например, в случае, когда мы
начинаем с известной задачи на собственные значения VX = PV, где Р -
многочлен по ?. Напомним читателю (разд. Зс), что если Р является
многочленом первой степени (посредством калибровочного преобразования,
см. разд. 5g, можно всегда свести задачу к виду (3.31)), то результатом
является иерархия АКНС; если его степень равна двум, то получается
иерархия НУШП [78].
В конце разд. 5с я приведу несколько упражнений, в которых примеры
гамильтоновых векторных полей на двойственных подалгебрах даны в иных
контекстах. Первые два примера приводят к уравнениям для простого
гармонического осциллятора и цепочке Тоды со свободными концами. Третий
пример показывает, как включить семейства КдФ и мКдФ в структуру алгебр
Ли. Непосредственным следствием является преобразование Миуры,
сопоставляющее решения двух семейств.
В разд. 5d мы воспользуемся преимуществом специального вида лаксовых
уравнений и непосредственно выпишем все законы сохранения вида
-Jj- (сохраняющаяся плотность) = (поток),
где х и t - два любых члена бесконечного набора переменных {tk}\ более
того, мы можем привести явное выражение для всех сохраняющихся плотностей
и потоков. Эти формулы являются новыми.
На этом этапе можно действовать в любом из двух следующих направлений;
каждое из них связано с чудесами, приведенными выше под номерами (2) и
(3).
Первое: заметим, что законы сохранения обладают структурой, отражающей
тот факт, что роторы трех бесконечномерных векторов равны нулю. Это
неизбежно приводит к мысли о введении потенциалов, которые являются
