Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
..., N и у! зависит от Л и Б. Аналогично, если 5 = 0,
ф(х, +
что означает
й(?) = а(?), ^= /?(0, Y/ = ^^yY/. (4.104)
При этом новых связанных состояний не добавилось.
Заметим, что поскольку (4.103) добавляет в спектр связанное состояние =
tt]i, оно также изменяет коэффициент отражения на фазовый множитель. Для
того чтобы q имело те же данные рассеяния, что и q, исключая добавление
одного связанного состояния, нужно сначала применить преобразование
Бэклунда (4.104) (где В - 0) и затем преобразование Бэклунда (4.103).
Результирующее преобразование дает q с данными рассеяния
S[q] = {R(0, C(lm? = 0); &, = Щ" у,)",},
где у 1 зависит от выбора Л и В в (4.103). Заметим, однако, что, если
начать с безотражательного потенциала R (?), не потребуется никакого
фазового сдвига, обусловленного преобразованием Бэклунда, добавляющим
солитон.
Далее взглянем на то, как преобразование Бэклунда воздействует на т-
функцию. Поскольку мы широко пользовались соотношениями (4.15) и (4.18),
т. е. формальным результатом, который реально применим только для
солитонных и рациональных решений (в этом случае асимптотическое
разложение в точке ? = оо является разложением Лорана), мы ограничимся
безотражательными потенциалами. Я оставляю читателю попытку расширить
область применимости формул. Для того чтобы записать (4.99) в виде
т = то (х, ?) = т (Аф (jc, ?)'+Вф(л:, - ?)), (4.105)
сначала воспользуемся (4.18), где v(x, ?) записана в виде линейной
комбинации двух линейно независимых решений
t-функция, метод Хироты, свойство Ленлеве 191
ф(х, С), ф(х, -С)> связь которых (формальная или асимптотическая) с т-
функций дана формулой (4.18), а именно:
Ф(*. 0 = ^^-, Ф(*, -0= *(~рт , (4.106)
где из (4.18) следует
X(r) = ехр (/ ? е*"(м+1) ехр(? ^) •
Так как мы решили в большей части этой главы работать с 22*/"+1, а не с
t2k+i (вспомните, что это исключило множитель 1 /22* перед правой частью
потока t2k+\ (3.14)), запишем
X<0-= exp(< ?С <ЭД"/*,,)exp(? ¦,е(м;,1"^г ¦ ^-)•
Используя (4.106), формулу (4.105) можно представить в видр
т"ов. = № (С) + ВХ (- 0) тстар, (4.107)
Рассмотрим несколько примеров, чтобы показать, как все это работает на
практике. Сначала возьмем то - 1. Следовательно,
т, = Аев + Be-0, (4.108)
где
оо
е=Е*'?(2?)2* w /, = *. (4.109)
о
Выберем А = ае~^, В - ае*&\ Пусть ? = Н] и - i'Cx0 = 80; назовем
т, = 2а ch (0 - 0О)
односолитонным решением. Далее,
т2 = (А2Х (Ь) + В2Х{- Ь)) (Л,* (Ci) + ВхХ (- С,)).
В качестве несложного упражнения покажите, что
X (с) X (СО = 1/2 ее+е' • (4.110)
С + С'
Таким образом, используя очевидное обозначение
т2 = Л, Л2 1|1/2е01+02 + Л2В,
с.-ь
е02-0| _|_
+ *'Ь\№;Г+-* + в'в'\Ы;Г'г**'
которое после выбора единичных коэффициентов при первых трех слагаемых и
деления на е01+02 принимает вид (С; = гг)/,
192 Глава 4
/ = 1, 2) двухсолитонного решения
Хп - ?01+02 С J ?-201 _1 ?-202 _l ^ ?-201-202
V 1
Напомним, что экспоненциальный множитель, стоящий спереди, в котором
показатель экспоненты линеен по tn+u k = 0, 1, ..., не дает вклада в поле
q(x, t%, U, ...)• Этот процесс может быть повторен.
Прежде чем завершить этот раздел о преобразованиях Бэклунда, я хочу
рассмотреть еще одно вычисление, приводящее к формуле для преобразований
Бэклунда членов иерархии АКНС при г = -q. Напомним (см. (3.36b)), что
соответствующей этому случаю задачей на собственные значения является
Следовательно, у, определенная как v2/v\, удовлетворяет
где q - - (1/2)"*, q = -(1/2)й*, то (4.112) принимает вид
Соответствующие соотношения между "*JA+1 и ut3k+i могут быть найдены
простым преобразованием соответствующих уравнений, описывающих
зависимость иь v2 от времени, к виду Риккати. Легко показать, что если
q(x, t2k+i) = - (1/2)их(х, t2k+i) (k может также быть отрицательным, k =
-1 приводит к уравнению sin-Гордон, см. [97]) удовлетворяет потоку t2k+\
в иерархии АКНС, где г = -q (заметим, что в этом многообразии решений
допускаются только нечетные потоки), то этому потоку удовлетворяет также
q[x, t2k+\) - - (l/2){ix(x, t2k+\). Поэтому
(4.114) и соответствующие соотношения являются преобразованием
Бэклунда.
Я привожу эти вычисления ввиду очевидных связей метода их вывода с
преобразованием Бэклунда для иерархии КдФ. Однако в гл. 5 мы опять
возьмемся за эти же вопросы с другой и более общей точки зрения,
преимущество которой состоит в том, что полный набор соотношений,
соответствующих (4.114), и формул, ставящих в соответствие "<2й+1 и
"<2А+1, задается одним выражением. Более того, выбор преобразования
(4.113) пре-
V\x + = qv2,
V2x - %v2= - qvl.
(4.111)
Ух = 2/?y - Я (1+ Y2)-
(4.112)
Если мы примем
(4.113)
(4.114)
т-функция, метод Хироты, свойство Пенлеве
193
вращается в очевидное следствие. Затруднение, связанное с
(4.113), состоит в том, что в то время как для решения уравнения Риккати
естественно подставить tg (следствие отношения ух :2у: 1 -+-у2), заранее
неясно, почему введенная таким способом й будет удовлетворять тому же
