Методика решения задач оптики - Ильичева Е.Н.
Скачать (прямая ссылка):
что интенсивность опорной волны /л была велика 'Чю сравнению с
интенсивностью волны, прошедшей через отверстие (/а"С/л), освещается
нормально падающей плоской волной В= -B0exp(ikz). Длина волны та же, что
и при записи. Проследить за процессом восстановления изображения
точечного отверстия,
150
Решение. Распределение интенсивности на фотопластинке имеет вид (см.
задачу 3.4.1):
4 = ^2о + ^2о W + 2/?0Л0 (х) cos .
После проявления фотопластинки ее пропускание t{x) будет иметь вид: t(x)
~[/(x)]-v/2,
t(x)~*t9 - у* |A\ (x) + A0 (*) RB exp J +
+ "А (¦*) exP [ ¦~ i (a*+jf) ]
(уравнение голограммы Габора).
При освещении голограммы нормально падающей плоской волной с комплексной
амплитудой В$еШг за голограммой получится поле U=t(x) Boeikz:
i (" +
U=^[tfit-fBtA\{x)\eiki -fA9(x)Btetki е 1 4 -
-Y' At{x)BQeik*e K f
Первый член соответствует волне, идущей в направлении падающей, но слегка
неравномерно (из-за Л%(х), которое <СЯ2,,) ослабленной. Второй описывает
волну, представляющую комбинацию плоской волны, отклоненной вверх, и
сферической расходящейся волны с фокусом f. Третий - плоскую волну,
отклоненную вниз, и сферическую сходящуюся волну с фокусом f. Таким
образом, в результате пропускания через голограмму плоской волны
восстанавливаются первоначальное волновое поле-плоская опорная и
сферическая предметная волны. Изображение точечного источника
восстанавливается дважды: в виде действительного (S) и мнимого (S')
изображений (рис. 50).
151
3.4.3. Голограмма точки, записанная с опорной волной R- |=/?0?/фз
(длина волны Я]), освещается точечным источником С (Хс, Ус, zc), дающим
монохроматический свет длины волны Яг. Найти положение восстановленных
изображений.
Решение. Изменения интенсивности света, падающего на голограмму,
определяются интерференционными членами /?Л*+ -\-R*A. Так как
экспонирование фотопластинки производится на линейном участке
характеристической кривой, то вариации функции пропускания пластинки
t(x2,yi) определяются вариациями интенсивности света. При освещении
голограммы волной В- = В0е*ч)Ь комплексная амплитуда дифрагированных волн
в плоскости голограммы имеет вид
Vz=0 (хг, у" 0) =^BRA* + BR*A,
<>6
R = R,e\ А=\е\ В.
Bae
V (xv yv 0) = A0B0R0 [exp i (<pb + fr ~ ?J + exp i (fb - fr + <pa)I-
Введем обозначения фн=фь+ф^- - фа и фу=фь- фг+Фа и положим фь=0 в начале
координат, тогда фь"(Х2, г/г) в некоторой точке (х2, г/г) в плоскости
голограммы приближенно равна
2ч
9b (хг' Уг) - х л2
[ 2^ (***'+
(Xs-r-Xc)2-Г (Уа - Ус)2
2z,
2гс_
1 К
у\ - 2хгхе - 2у2ус)
Для фF (хг, г/г) получим
*Ру №гУг) ':=z | ~2zc ^ 2 ^ 2 2t/2i/c) J "f-
+Y~ (¦*** + У\ - 2ЗД - 2^.)] ~
Выражение для фД записывается аналогично.
Мы предполагаем масштаб голограммы при записи и восстановлении
неизменяемым. Обозначим Я2/Я1 = (л, получим
*?V (хг, Уг) ¦
п
Лг
+У\) (i+ ^-?-) - 2*.
)-ъ (%+?-?)•
У-*г
' г г
(1)
Ф* = (*А) = [(*'. + у\)
Ус_
?+?)]•
152
Если голограмма действительно восстанавливает изображения точечных
источников, то tpF и <ря должны быть фазами сферических волн в плоскости
голограммы, т. е. в нашем приближении иметь вид
3.4.4. Осевая голограмма записана с плоским опорным пучком длины
Я=6328А. Определить локальную пространственную частоту v(p)
интерференционных полос на расстоянии р=1 см от оси голограммы.
Расстояние между предметом и фотопластин-' кой Zi = l м.
Решение. В данном случае и предмет и источник опорной волны лежат ца оси
z
Считая, что на оси фазы опорной и предметной волн совпадают, рассчитаем
разность фаз этих волн в точке (хг, г/2) фотопластинки. Пользуясь
параксиальным приближением, можно записать
представляют собой кольца. Максимумы интенсивности соответствуют Дф=2ят,
т. е. p2=mlzi. Изменение интенсивности происходит по закону.
? (-ад) = If [ 2i" (XV+V* - - 2угу3) , (2)
где z3 - расстояние от голограммы до плоскости изображения, х3,у3 -
координаты восстановленного источника.
Приравнивая коэффициенты в (1) и (2), получим
(х, = xr = yl=yr-0).
Х*2 + Уг2 _____ Р2 2"
- 27, 7'Т 2г, X'
?г~?а =
или разность хода Д - т. е. интерференционные полосы
1
2 RBAB cos Af.
6 Зак. 314
153
Так как Дф зависит от координат, то пространственная частота v изменения
интенсивности тоже зависит от дадординат. Пространственная частота v
равна деленной на 2я пространственной скорости изменения фазы
интерференционной картины в точке (*2, У2) ¦
Для направления х2
Подставляя данные задачи, получим
v (Р) ~ "бЛо-'^'Ш5"~165 полос/см-
Замечание. Из (1) видно, что частота v растет по мере удаления от оси
голограммы и может достигнуть величины л>тах, равной предельной частоте,
которую можно зарегистрировать на фотопластинке. Величина Pmax=vmax-^Zi
определяет размеры голограммы, которую можно записать на пластинку с
данной разрешающей способностью Vmax.
3.4.5. Голограмма точки (хь - zi) записана на схеме Лей-та и
Упатниекса с помощью аксиальной плоской волны, идущей
вдоль z (рис. 51,а). Определить пространственную частоту
