Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ильичева Е.Н. -> "Методика решения задач оптики" -> 45

Методика решения задач оптики - Ильичева Е.Н.

Ильичева Е.Н., Кудеяров Ю.А., Матвеев А.В. Методика решения задач оптики — М.: МГУ, 1981. — 72 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikaresheniyazadachoptiki1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 74 >> Следующая

пропускания предмета.
3.1.3. Показать, что в плоскости, сопряженной плоскости предмета,
получается изображение предмета.
Решение. Рассмотрим сле-t(x,y) х",у0 Ч.Уа дующую схему (рис. 46).
Пусть Г1 - плоскость предмета, функция пропускания которого t(x, у), П'-
плоскость изображения оптической системы, сопряженная ^плоскости П, т. е.
ljd0+l/d=l/f. п' Пусть линза свободна от аберраций. Согласно теории
процесс формирования изображения состоит из двух этапов.
1) Волна, падающая на предмет, испытывает на нем дифракционное
рассеяние, в результате чего формируется поле Vi, падающее на линзу
(первая дифракция на апертуре предмета).
2) Это дифрагированное поле попадает на линзу (являющуюся фазовым
объектом), испытывает фазовую задержку^ в результате чего в задней
фокальной плоскости формируется Фурье-образ предмета. В плоскости
изображения создается дифракционное поле волны V/ , пропущенной линзой,
производится обратное преобразование Фурье и формируется изображение
предмета.
Для расчета волнового поля воспользуемся приближением Френеля. Поле перед
линзой
Рис. 46
ik
vt=-
*У+У*о 2 dB
ik x'+y> ххо+УУо_
e 2d° e
d0
dxdy.
Предполагая, что t(x,y) отлична от нуля по апертуре предмета, можем
заменить пределы интегрирования на ±оо.
Интеграл представляет собой преобразование Фурье для функции
t(x, у)е
1к?+*
2 do
на частотах т =-^-k, ш =J?-k, запишем его в виде & (ю*, ш").
Поле сразу за линзой
ik
2 d.
144
где
а а
t[ (л:0, у") = e~ik °2} - функция пропускания линзы.
Это поле, огргГниченное апертурой линзы, испытывает на ней дифракцию, и
поле в плоскости П' найдем, записав интеграл Кирхгофа-Френеля для функции
Vi :
----\\v',e " X
L
г г
xaxd+y0yd ib*d+yd
L L
• 4-J-----LJ | f (a>xmu) exp ik b,*d±l>yd j dx^y,.
Вспомнив, что-^-|-^---------i-= 0, и предположив, что поле
вне
da а [
апертуры линзы равно нулю и размеры линзы таковы, что она
не ограничивает падающий на нее спектр, т. е. & (g>)=0 при
|х0|>а, где а - размеры линзы, увидим в интеграле обратное преобразование
Фурье:
"ТГ*- с°г -" "К-"
v"= -vm,-jj F К"")e dx- d4<'
-00
и интеграл приобретает вид
4^2 jjV к. шу) е {(°хХ+ЮуУ) dioxchy = t (х, у) е
Так что
ikxl^ ik?+y'
л
v'=-щ,--------------
Учтя соотношение между х и ха, получим
I VM = - \vd\- d
t (-**$; У л ~?-
т. е. в плоскости изображения получается перевернутое, увеличенное в М
раз изображение предмета: M=d/d0 - увеличение системы.
145
2-й тип задач (3.2)
3.2.1. Амплитудная решетка с прямоугольной функцией пропускания t(x,
у) =t(x), периодом d и шириной щели Ь, освещается нормально падающим
плоским пучком монохроматического света с длиной волны X. За решеткой
расположена линза, в фокальной плоскости которой располагается набор
масок.
Считая число штрихов решетки N->-оо, найти распределение интенсивности в
плоскости изображения, если маски поочередно пропускают:
1) нулевой максимум;
2) ±1-е максимумы;
-3) нулевой и -j-1-й максимумы;
4) нулевой и ±1-е максимумы.
Решение. 1-й способ. Распределение комплексных амплитуд в плоскости
изображения определяется угловым спектром волн, дифрагированных на
решетке, т. е. спектром Фурье S(ikx) функции пропускания предмета t(x):
S(ikx)= Jt{x)e lhxXdx.
-00
В нашем случае из-за бесконечности N спектр Фурье состоит из дискретного
ряда гармоник:
S(ikx) - a0-{-at cos (^x)-|-a2cos (2kxx)-f-...,-j-amcos (mkxx),
где
, 2n . n 2it
kx=T sm" = ^-и коэффициенты разложения
a,n ~~ b nbm/d'
соответствуют амплитудам плоских волн, идущих в направлении
В фокальной плоскости линзы каждой т-й пространственной гармонике
предмета t(x) будет соответствовать максимум, положение которого
относительно оптической оси линзы определится
условием xm = f sin'd'm=f^. Мы предполагаем, что d>l, углы
146
дифракции малы. Для определенности положим, что предмет находится на
двойном фокусном расстоянии от линзы, увеличение-системы равно единице,
плоскость изображения отстоит от фокальной плоскости на расстояние /.
1. Если маска в фокальной плоскости пропускает только нулевой
максимум, то плоскости изображения достигает только прямопрошедшая волна,
не испытавшая дифракции на предмете.-Комплексная амплитуда этой волны в
плоскости изображения может быть записана в виде
где х и "/ - координаты точки в плоскости изображения. Это сфе-* рическая
волна, идущая вдоль оси г, 1=АА*=а*. В плоскдепг изображения наблюдается
равномерная освещенность.
2. Маска пропускает ±1-е максимумы, сформированные плоскими волнами A\
= a.\eihx* и А'1=а1е 'х, идущими под углом ±#=АId к оси z.
Распределение интенсивности в плоскости изображения формируется
интерференцией двух сферических волн, оси которых составляют к оси г:
Получим периодическое распределение интенсивности с периодом d/2, т. е.
изображение второй пространственной гармоники предмета. Отметим, что в
формировании изображения участвовали волны, дифрагировавшие под углом #,
т. е. соответствующие первой гармонике предмета, тогда как на экране
получили передачу не первой, а второй гармоники. Это произошло потому,
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 74 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed