Методика решения задач оптики - Ильичева Е.Н.
Скачать (прямая ссылка):
также размерами интерференционного поля и разрешением иредмета.
3.7 (7-й тип). Расчет волнового поля восстайовленной предметной волны,
Метод решения. Воспользоваться интегралом Кирхгофа-Френеля и рассчитать
распределение комплексных амплитуд.
б) ПРИМЕРЫ
1-й тип задач (3.1)
3.1.1. Рассчитать функцию пропускания тонкой линзы.
Решение. Будем рассматривать тонкую линзу .(т. е. такую, что луч,
вошедший с одной стороны линзы в точке с координата-
139
ми [х, у), выйдет с другой стороны в точке с примерно теми же
координатами) • ограниченную сферическими поверхностями с радиусами /?! и
R2 (рис. 42,а).
Задано поле перед линзой Vi(x,y). Найдем поле V\ (х,у) = = Vit(x,y)
непосредственно за линзой, пренебрегая поглощением
в линзе. При этих условиях t(x,y)-чисто фазовый множитель t(x,
у)=е'ч>(х'УК
Найдем изменение фазы ц>(х,у) луча, проходящего через линзу:
где1 /г = 2и/А.
Воспользуемся правилом знаков: расстояния, отсчитываемые по ходу Луча
(слева направо), берем со знаком "плюс". Радиус кривизны отсчитывается от
главной плоскости Н сферической поверхности (рис. 42,6, в, г).
Тогда d=z1 - z2, d0= (z0 - R2)- Ri=z0 - (R1+R2),
Если ограничиться узкой параксиальной областью, то можно при нять, что
I
Рис. 42, а, б, в, г
<f(xry) = knd(x, у) -j- k \da - d (x, y)] = kd(x, у) (n - 1 )-\-kd0 =
= <Pi+<P*.
z,=lfR\- (хЦ-y% z2 = z0-VR\- (x*+y*).
так что
d(x, у) = гг - ъ=- dt-l^l. (лТ+лг).
140
Дер = fed (я - 1)4- kd' = -^kx *у (я - 1) -
- kd0 (п - l)4-fed0=- fe*l±_g! - Ay,,
где-j- = (я - 1) ^/ - фокусное расстояние линзы. Та* ким образом,
/ (*, г/) = ехр (- t Д<р0) X ехр гй - •
Первый множитель дает постоянный фазовый сдвиг, второй - аппроксимирует в
квадратичном приближении сферическую волну.
При />0 получим сходящуюся волну, при /<0 - расходящуюся (рис. 43). .
Напоминаем, что волновое поле мы представили в виде
У (г, t) = Voe~ie> Таким образом, комплексная амплитуда поля
непосредственно за линзой имеет вид
V7 = Wexp[-j|-(*!4-^)j
и, следовательно, функция пропускания тонкой линзы в параксиальном
приближении имеет вид
-"(ЗИМ
t(x,y) = eivix'y) = e { f К
Фазовый сдвиг, вносимый линзой, обеспечивает таутохроннос^ь лучей (с
определенной длиной волны), сходящихся в фокусе линзы.
3.1.2. Предмет, функция пропускания которого t(x,y), расположен в
передней фокальной плоскости линзы. Показать, что: в задней фокальной
плоскости формируется Фурье-образ функции пропускания предмета (рис. 44).
141
Решение. Пусть на предмет нормально падает плоская волна единичной
амплитуды. Спектр Фурье света, прошедшего -через предмет,
ОС .
f$ К- ту)= ft (х; у) е а>хХ+туу dx dy.
2
Пусть (ш-с, (Оу)-спектр Фурье света, падающего на линзу. Так как линза
находится на расстоянии (/ от предмета, то
ft К- my)=f" К" ту)е
-ik
X '+уг 2f
э"{-=-(Мы предполагаем, что расстояния z настолько велики, что мож-Рис.
44 но пользоваться приближением Фре-
неля и что размеры дифракционных отверстий > Л, тг е. поле после предмета
состоит из распространяющихся волн.) Здесь
2п , х.
k -- у У~~ \
так что
-i (о)а )
К> "") - У*. К- ту) е 4" * У
ч
Для того чтобы рассчитать комплексные амплитуды в задней фокальной
плоскости линзы, воспользуемся интегралом Кирхгофа-Френеля
+ "V
iik -
V/ (*/, г//):
2f
Щ
fj Vi(x",yje
-ik
Xji xf + Ул У{
f
dxд dyn,
по апертуре
Хл, Ул - координаты в плоскости линзы, Xf, yf - координаты в плоскости
наблюдения, Vi(xa, ул)-распределение комплексных амплитуд света,
падающего на линзу. Квадратичные фазовые множители исчезли, так как
функция пропускания линзы /л(*л,г/л) =
J?J_4
-ik
- е 2f . Мы предполагаем, что функция пропускания
•отлична от нуля только в пределах апертуры линзы. При этом интеграл по
апертуре может быть заменен на интеграл с бесконечными пределами.
Интеграл представляет Фурье-спектр света, .падающего на линзу, для частот
,, <*V + y'f)
e 2f 1
Vf(Xf, yf) --------щ-------Srl (mx, mg) = щ &0 (mx, ay).
Координаты плоскости предмета (x, у) и плоскости наблюдения (xf,yf)
связаны соотношениями х--Xf, у--г//'(рис. 45,а).
Рис. 45, а, б
Таким образом, амплитуда и фаз^л волны в точке с координатами (Xf,yf)
определяются преобразованием Фурье спектра пропускания предмета на
частотах
Xf 2ге Щ 2п
tox - kx f - dx' <*u - ky f - dy'
Если, например, t(x,y)-acos2n(dx и предмет освещается плоской волной, то
после предмета получаются две плоские волны, идущие под углом ±<р к
первоначальному направлению. Углы <р найдем из соотношения
± ksin?=-3-, sm?=±-^-.
Соответственно в задней фокальной плоскости линзы получим два пятна в
точках с координатами (рис. 45,6):
±*,=±Tf=±-3-f.
Если структура предмета такова, что в спектре Фурье функции пропускания
предмета присутствуют высшие гармоники, то каждой гармонике будет
соответствовать свое направление плоской волны после предмета, т. е.
а>х=кх=па>йх, ay-ky-n<i>ay,
143
п
и в задней фокальной плоскости линзы будут наблюдаться соответствующие
максимумы, амплитуда которых определяется коэффициентами Фурье функции
