Методика решения задач оптики - Ильичева Е.Н.
Скачать (прямая ссылка):
проницаемости среды
170
Из курса тензорного анализа известно, что для тензоров, обладающих
определенными свойствами (тензор диэлектрической проницаемости 8jj как
раз относится к такому классу тензоров), можно выбрать такую систему
координат, в которой рассматриваемый тензор имеет диагональный вид, т. е.
Система координат, в которой тензор диэлектрической проницаемости
принимает диагональный вид (3), называется системой диэлектрических осей.
При этом величины ехх=ех, ето = еу, ггг= =ez называются главными
диэлектрическими проницаемостями. .Для изотропной среды sx=ey=>ez = e.
В системе диэлектрических осей формулы (1) принимают
вид
Пусть вектор D направлен по оси х системы диэлектрических
осей. Тогда D2=e02ex2Ex2, (Е-D) = е0ехЕх2. С учетом этого формула (14)
задачи 3.1.1 для нормальной скорости плоской монохроматической волны
запишется в виде ах2=с2/ех или
¦где ах - нормальная скорость плоской монохроматической вол-
*->¦
ны в том случае, когда вектор D направлен вдоль диэлектрической оси х. В
свою очередь, скорость света в вакууме с связана с электрической е0 и
магнитной постоянными соотношениям
(3)
Dx ?08 xEx'i
Dy=eoevEy; Dz := 80&zEzt
(4)
или, в более компактной записи,
?>г=е0ег?г (i=x, у, г).
(4')
(5)
ео^о
Если вектор D направлен вдоль оси у, то
•если вдоль оси г, то
с
а = -7=-,
у Уч
(6)
Формулы (5) - (7) можно записать в виде одной формулы
Аг=с/Ув" (i=x, у, z). (8)
Скорости а* называются главными скоростями света в кристалле. Отметим,
что главные скорости ах, ау и az не образуют вектора.
Для дальнейшего воспользуемся формулой (13) задачи 3.1.1, которую запишем
через проекции векторов на оси диэлектрической системы, т. е.
H0u2D(- - Е, = - N{ (N ¦ Е) (г = х, у, г). (9)
Учитывая (4') и (8), перепишем (9) в виде
Di = jp^jNi (N-E). (10)
Умножим обе части (10) на и просуммируем полученные равенства:
J/v,d,=-V(S?)5](^3-- О"
i i
Левая часть этого равенства равна нулю,, так как 2A/jDi=
t
--v ->*
= (N-D)= 0 (см. формулы (12) задачи 3.1.1). Следовательно,
Е
I
(v2 - а2,)
или, в подробной записи,
N*x 1. Ny I N** -Q (\2\
(v2 - a2x) (o2 - a2y) > (v2 - az) ' *
Формула (12) называется формулой Френеля для нормальной скорости света в
кристалле. Она решает сформулированную нами задачу.
--V
3.1.3. Показать, что в каждом направлении N в кристалле
могут распространяться две волны, вообще говоря, с различными
нормальными скоростями. Если эти скорости различны, то каждая
из волн поляризована линейно, причем векторы D обеих волн взаимно
перпендикулярны.
Решение. Исходим из формулы (12) предыдущей задачи, которую запишем в
виде
N\ (v* - а?у) (у2 - а\) + N\ (v* - а\) (у2 - а\) +
+ N\(v*-a\)(v*-a\) = 0. (1)
Левую часть этого равенства обозначим через f{v2). Тогда равенство (1)
принимает вид
f(u2) = 0. (2)
172
Уравнение (2) является квадратным уравнением относительно v2. В общем
случае это уравнение имеет два корня. Если эти два корня будут
вещественны и положительны, /го тем самым будет
доказано, что в направлении-N распространяются две волны с различными
нормальными скоростями.
Для доказательства предположим, что
ах^ау> аг (3)
(рис. 56). Выясним, как качественно ведет себя график функции
f (v2). Так как Nx, Ny, Nz - компоненты единичного вектора в ди-
электрических осях, то . их квадраты являются положительными числами.
Принимая во внимание это обстоятельство, а также условие (3), из (1)
получим
f (а*х) = {а\ - а\) {а\ - а\) > О,
f (а*у) = N\ - а\) (а\ - а\) < О,
f {а\) =N\ {а\ - а\) (а\ - а\) > 0.
Сделав естественные предположения о непрерывности и достаточной гладкости
функции f(v2), приходим к выводу, что рассматриваемая функция два раза
обращается в нуль - в точках ui2 и v22, причем
а"
'¦¦v1 <ах,
аг<иг< а у.
В частном случае, когда ах-ау*=аг (среда изотропная), vi = v2= = v. Таким
образом, корням vt и v2 уравнения (2) соответствуют две световые волны,
распространяющиеся с соответствующими нормальными скоростями.
Выясним теперь вопрос о поляризации этих волн. Из формулы (10) предыдущей
задачи имеем
Dx=-
¦ а2х
NX(N-E),
А,
T-Uy(V-E),
D,
Nz(N-E).
Из написанных равенств следует отношение
Dx: Dg: Dz
Nr
N"
tr- a*
(4)
Напишем аналогичные отношения для двух волн, распространяющихся с
нормальными скоростями v\ и v2;
173
Правые части написанных отношений по смыслу величин, входящих в них,
вещественны. Следовательно, вещественны и отношения
Dix • . Dizt
Dzx ' Dig . Dtzm
Поскольку отношения компонент рассматриваемых волн вещественны, это
означает отсутствие сдвига фаз между этими компо-
нентами. А из этого следует, что векторы Dx и D2 колеблются в
определенном направлении, т. е. обе волны являются линейно
поляризованными.
Наконец, докажем, что плоскости колебаний векторов D\ и
?>г взаимно перпендикулярны. Исходим из формулы. (13) задачи
з.1. L записанной для каждой из рассматриваемых волн:
- Et = - N (N-EJ,
Pav\D2 - E, = - ~N(N-E2).
Умножая скалярно первое уравнение на D2, а второе - на ?>i и вычитая
