Методика решения задач оптики - Ильичева Е.Н.
Скачать (прямая ссылка):
166
ния и закон Малюса для интенсивности света, прошедшего сквозь-поляризатор
и анализатор.
3.4. (4-й тип). Задачи на анализ эллиптически поляризованного света и на
изменение характера поляризации с помощью компенсирующих устройств.
Метод решения. Используются формулы (14) и (16) задачи 3.4.1 и уравнение
(4) этой задачи для эллиптически поляризованного света, а также условия
вырождения этого уравнения в уравнения для линейно поляризованного света
и света, поляризованного по кругу.
3.5. (5-й тип). Задачи на вычисление эффектов, связанных с вращением
плоскости поляризации.
Метод решения. Используются формулы (7) и (8) задачи 3.5.1 для угла
поворота плоскости поляризации и вращательной способности кристаллической
пластинки.
б) ПРИМЕРЫ 1-й тип задач (3.1)
3.1.1. Выразить нормальную скорость v плоской монохроматической волны
в однородной кристаллической среде через век-
торы электрической индукции D и напряженности электрического*
поля Е рассматриваемой волны.
Решение. Исходим из системы уравнений Максвелла, описывающей
электромагнитное поле в среде, характеризуемой диэлектрической
проницаемостью е (магнитную проницаемость среды ц, полагаем равной
единице). В этом случае уравнения Максвелла имеют вид
где вектор магнитной индукции В связан с вектором напряжен ности
магнитного поля Н соотношением
/¦)/? -> rot ? = - -щ-; divD = 0;
(О-
rotH=-jр; div# = 0,
(Г>
где цо=4я-10-7 Гн/м - магнитная постоянная. В декартовых координатах:
(2)
167
;где Ex, Ev, Ez - проекции вектора E на оси декартовой системы
координат; в\, е2, еъ - единичные векторы, направленные по осям этой
системы.
В той же системе координат
О)
Вид, аналогичный (2) и (3), имеют rot Я и divB соответственно.
Так как по условию задачи в рассм атриваемой среде распространяется
плоская монохроматическая волна, то это означает,
¦что векторы Е, D и Я изменяются по следующему закону:
i(wt+kr) i(mt-fer)j
Н = НяецыЛ7>.' (4)
Е = Еве
D=D"e
где Е0, Do, Н0 - постоянные векторы (амплитуды соответствую-
щих величин); г -радиус-вектор точки наблюдения; k - волновой вектор,
направленный по нормали к волновому фронту (поверхности постоянной фазы)
и равный
2к f, ш Т.
k=-j-N= - N. (5)
Здесь N - единичный вектор нормали к волновому фронту,
V - нормальная (фазовая) скорость распространения волны в -среде.
Для дальнейшего необходимо вычислить, например, rot?,
учитывая, что вектор Е определяется соотношением (4). Под-
ставляя выражение для Е из (4) в (2) и произведя необходимое
дифференцирование, в частности, получим
(dEz пи р ^и-р
k dy dz ,
'dEx dEz '
. dz dx t
'dEy dEx'
') = - iikyE'z - kzEty)e )-^-1{кгЕлх-кхЕлг)епы
-k r);
(<at-k Г)
Подставляя полученные выражения в (2), находим rot Е = i {{kyEz - kzEy)
et + (kzEx - kxEz)e2 -f (kxEy - kgEx) в,} ¦.
= - i[kX%
168
т. е.
rotЕ = - i [k X Е\. (6)
Аналогичным способом можно убедиться, что
гоШ = -фХЯ], (7)
divD = (1-B), (8)
di vB = (k-B). (9)
-*¦
Вычислим, наконец,
dt
дЪ д " 1Ы-ЛТ) •* , ц.аТ) . -*
ж = =D,ime =twD,
или
§ = (Ю)
дВ
Аналогично: -щ- = тВ. (11)
Подставляя (6) - (11) в (1) и учитывая (Г), получим, что система
уравнений Максвелла принимает вид
3=|-^-[*хя], (1-3)=о,
5=47[*xSl'
Так как к=-N, то окончательно запишем
V
D=-±{NXH\; (N-D) = 0, (12)
й=*гг1йХ?|; (ЛГ.й)=о.
Для нахождения искомого выражения для .нормальной ско-роста v исключим Н
из первой пары уравнений. В результате
3=--^[5х|лгх?1].
Двойное векторное произведение раскроем по формуле [аХ [Ь X c\\==b{a-c) -
c(a-b).
7 Зак. 314 169
В результате получим
1 -у 1
D=-- я ^ ^ ¦ ?> --*" -*"
так как (ЛГ*ЛГ) =ЛГ2= 1 (N - единичный вектор нормали). Отсюда
fь^Ъ-Ъ^-Ъ{Ы-Е). (13>
*->¦
Умножая обе части этого равенства скалярно на D, получимз fioy2D2-(?-D) =
-(iV-D)(iV-?) = 0 (см. (12)). Окончательно для нормальной скорости имеем
*=?$¦¦ (Н>
3.1.2. В кристалле задан вектор нормали N к волновому фронту плоской
монохроматической волны. Выразить нормальную
скорость этой волны через компоненты вектора N.
Решение. Задача будет решаться в так называемой системе диэлектрических
осей. Поясним это понятие. Дело в том, что кристаллическая среда является
анизотропной средой, т. е. физические свойства этой среды зависят от
направления, в котором эти свойства рассматриваются. Факт зависимости
физических свойств кристалла от направления находит свое выражение, в
частности, в тензорном характере диэлектрической проницаемости
кристаллической среды. Это означает, что связь между ком-
понентами вектора электрической индукции D и компонентами
вектора напряженности электрического поля Е в кристаллической среде имеет
вид
A- = so2s'7?/' м
i
где электрическая постоянная ео=8,85-10~12 Ф/м; а
U ] = х, у, z:
Развернутая запись (I) имеет вид
Dx = 5 о (SXXEX 8хуЕу 4" sxzEz)>
Dy = s0 (syxEx -}- SyyEy -|- syzEz), (1 )*
Dz = So (SzxEX SZyEy ~i~ SzJEz) •
Таким образом, связь между компонентами векторов D и Е определяется
девятикомпонентной величиной, называемой тензором диэлектрической
