Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Q = | 1 фот) (1 фот |, (7.16)
а корреляционная функция первого порядка сводится к выражению
G(1) (хи х2) — (1 фот | ?(_) (*j) ?(+) (х2) | 1 фот). (7.17)
Так как Е(+) есть оператор уничтожения фотона, то состояние ?<+) (х2) 11 фот ) можно умножить только на вакуумное состояние, которое мы обозначим через | 0). Поэтому между операторами ?,<_) и ?<+) в (7.17) можно вставить оператор проекции по вакуумным состояниям | 0 ) <0 |, не изменяя при этом значения корреляционной функции:
G(1)(x,, х2) — (1 фот | ?(-) (*i) | 0) <0 | Е(+) (х2): 1 фот). (7.18)
Выражение (7.18) представляет собой факторизованную форму G(1), удовлетворяющую соотношению (7.15). Следовательно, любое чистое состояние, в котором поле представлено одним фотоном, обладает когерентностью первого порядка. (Таким образом, оптическое определение когерентности связано с одним из возможных квантовомеханических определений, а именно тем, которое связано с чистыми состояниями.)
Разумеется, мы доказали только то, что чистое однофотонное состояние когерентно. Если наш гипотетический опыт, например,
повторить, не используя каждый раз один и тот же волновой пакет (т. е. рассматривая смесь чистых состояний), то, вообще говоря, мы не получим интерференционных колец с максимальной контрастностью. Однако некоторая определенная смесь фотонных состояний может сохранить свойства факторизованности корреляционной функции (7.15) и тем самым сохранить свойство когерентности; не следует думать, что только чистые состояния приводят к когерентности.
Предположим, например, что возбуждается только одна k-я мода поля. Так как все остальные моды остаются в основных состояниях, то их можно не учитывать при расчете корреляционной функции. Если оператор плотности для k-и моды представить в общем виде
е= 2 Сп,т\п) (т\, (7.19)
п,лп
где j п) есть /г-квантовое состояние для моды, то корреляционную функцию первого порядка можно записать в виде
G(1)(r,tu r2t2) =
= у fccoft 2 °пт {т | a\ak | n) u% (r^ uh (r2) e,Mft ('1_'2) =
n, m
= C24 (n) eia^uh (r2) е~ш^; (7.20)
в первом из этих выражений мы применили некоторые из обозначений соотношения (8.21), а во втором использовали обозначение
С2 =у 2 Пспп. (7.21)
к
Очевидно, что из возможности записи % (г, t) в виде
% (г, t) = Cuh (г) е-шь( (7.22)
следует, что корреляционная функция (7.20) принимает факторизованную форму (7.15).
Итак, возбуждение отдельной моды независимо от того, является ли она чистым состоянием или произвольной смесью таких состояний, приводит к полям с когерентностью первого порядка.
Хотя мы и смогли дать некоторые простые примеры полей с когерентностью первого порядка, следует заметить, что условие факторизации (7.15) является довольно ограниченным. Оно, например, не выполняется в общем случае для чистых состояний, в чем можно легко убедиться, рассчитывая корреляционную функцию для состояния, в котором два или более фотонов находятся в различных модах. Такие начальные состояния могут привести к кольцам в опыте Юнга, однако кольца, как правило, не будут удовле-
творять условию максимального контраста. Несмотря на то, что условие когерентности является ограничением, мы покажем, что существует значительно более широкий класс состояний, удовлетворяющих этому условию состояний, чем рассматривавшийся нами до сих пор.
Заметим, в частности, что мы не требовали монохроматичности для когерентных полей. Поля, удовлетворяющие условию факторизации (7.15) или условию, при котором получается максимальная мгновенная контрастность колец, могут произвольно зависеть от времени. Следовательно, функции % (г, t), определяющие корреляционные функции, могут иметь любой спектр Фурье. В связи с этим утверждением любопытно отметить, что для получения максимально когерентных пучков света пытались использовать максимально монохроматический свет. Причина этого была в том, что обычно имели дело с использованием стационарных источников света. Такие источники дают поля, для которых корреляционная функция первого порядка зависит только от разности двух времен
Gw(tu t2) = Gw(tl-t2). (7.23)
Если такие поля когерентны, то корреляционная функция должна быть факторизована следующим образом:
G(1)(/i -t2) = %*{t,)%(t2). (7.24)
Однако (7.24) есть функциональное уравнение, которое имеет только экспоненциальные решения. Так как зависимость G(1> от переменной t2 может содержать лишь положительные частоты, то %(t) ~ е~ш для со > 0. Другими словами, когерентное стационарное поле может быть только монохроматическим.
Следует добавить, что данное определение когерентности первого порядка является довольно идеализированным, как и почти всякое условие, налагаемое на квантовомеханические состояния. Нельзя ожидать, что для корреляционных функций реальных полей условие факторизации (7.15) будет выполняться в неограниченной области значений переменных xt и л:2. Практически для определения диапазонов изменения пространственных и временнйх переменных, для которых возможна факторизация, мы введем понятия времени когерентности и длины когерентности.
