Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Результаты экспериментов показаны на фиг. 10. Если бы сигналы счетчиков были статистически независимы, то скорость совпадений не зависила бы от времени задержки. Небольшой «всплеск» на экспериментальной кривой показывает, что фотоны имеют определенную тенденцию регистрироваться парами. Хотя этот эффект вначале было трудно наблюдать, он (как мы покажем) не всегда является малым. Малая величина «всплеска» и его конкретная форма в этих экспериментах определялись в основном относительно большой инерционностью счетчиков.
Отметим, что если счетчики располагаются симметрично по отношению к зеркалу, то’действующие на них поля отличаются друг от друга только постоянным множителем. Отсюда следует, что если Ti и г2 представляют собой зеркально симметричные точки
наблюдения, то
|g(1>(iV, r2t)\=\, (8.3)
т. е. поля, падающие на оба детектора, в первом порядке полностью когерентны. С другой стороны, наблюдение положительной корреляции в скорости счета совпадений означает, что поля некогерентны во втором порядке. Ниже мы покажем, что этот результат типичен для всех экспериментов, выполняемых с естественными источниками света. Поля от этих источников имеют случайный характер, что нарушает когерентность второго порядка.
3. Дальнейший анализ когерентности высших порядков
Вернемся к определению когерентности более высокого порядка. По аналогии с когерентностью первого порядка когерентность М-го порядка определим в виде условия
2 п
|G<n> (*!...**,) Iя = П G(i)(xj, Xj), (8.4)
3=1
налагаемого на абсолютные значения корреляционных функций при п<М. В этом случае еще удобнее выразить условие когерентности в виде свойства факторизации корреляционной функции. В качестве такого условия мы выдвинем требование, чтобы имелась единственная комплексная функция % (х), такая, что
п 2 п
G(1)(*!-..*2»)= П s*(xj) Г1 &(Xj) (8.5)
3=1 j=n+1
для всех пСУИ. Если такая факторизация выполняется для всех п, то будем говорить о полной когерентности.
Заметим, что из условия (8.5) следует соотношение
G(1) (л:, х) — \% (х) |2, (8.6)
которое означает, что корреляционная функция удовлетворяет условиям (8.4). С другой стороны, можно показать, что условия (8.4) также связаны со свойством факторизации. Заметим, что М-й порядок когерентности всегда подразумевает когерентность в первом порядке. Поэтому можно пользоваться соотношениями, которые являются следствиями когерентности первого порядка (см. лекцию 7). В частности, ввиду того, что все операторы Ei_) (xj) при / = 1 . . . п коммутируют друг с другом так же, как и операторы Еш (xj) при j = п + 1 . . . 2п, можно использовать любое из двух тождеств (7.34) и (7.35) п раз, чтобы сместить все аргументы корреляционной функции n-го порядка в данную начальную
точку х0
Sp IqE(-> (Xi) . . . Е<-> (Хп) Ew (хп+1) ... Ew (x2n)) =
n
=n S)?-folSp le?M (xo) ¦ ¦ •?l_> (xo) ?<+) (Xo) ?<+> (*°)] x
j=\
w TT G<1) (*o. */) .
11 Ga>(*0,*0) ’
j=Tl + l
из этого тождества следует, что
G(n4x х \ __ ^(П) (*о • • • *о) ч/
' 2n' — [G<x> (х0, х0)]п Х
та 2п
11 G<1) (Xj, х0) П G(1) (Х0, Xj)
v ________________j=w+l______________
A [G<1>(*0, *0)]n
Если ввести функцию Ш(х), определяемую выражением (7.37), и использовать нормированную функцию, то последнее соотношение принимает вид
п 2 п
G<"> (*,... х2п) = (*0 . .. *0) П г (*;) П S(х}). (8.7)
3=1 j=n+l
Как было показано выше, произвольность выбора начальной точки хй приводит лишь к появлению у g (х) постоянного фазового множителя. Так как этот фазовый множитель не входит в произведение, содержащееся в (8.7), то, следовательно, для полей, когерентных в первом порядке, функции gln) (лг0 . . . х0) не зависят от х0. Другими словами, одного лишь условия когерентности первого порядка достаточно, чтобы привести к факторизованному виду все корреляционные функции высших порядков. Однако факторизации корреляционной функции, вообще говоря, еще не достаточно для когерентности более высокого порядка. Дело в том, что формула (8.7) содержит постоянные множители gin) (х0 . . . х0), которые в случае когерентности более высокого порядка должны быть равны единице. Условия когерентности высшего порядка (8.4) требуют, чтобы эти коэффициенты по модулю были равны единице при п<М. Но так как величины gin) (х0 ... *0) должны быть действительны и положительны, то это условие выполняется. Таким образом, из условия (8.4) следует выполнение условия факторизации (8.5).
