Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
186
УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА — ГОРДОНА
[ГЛ. 9
амплитуд процессов сильного взаимодействия типа (9.2). В этом приближении я- и /(-мезоны считаются стабильными частицами и описываются начальными и конечными свободными волновыми функциями.
Нейтральные я0- и /С°-мезоны, которые мы также хотим включить в рассмотрение, имеют меньшее время жизни и распадаются в основном по следующим каналам [89, 15]:
я°->у + У> тл«~ 1СГ16 сек,
/С0->я+ + я~, Ю~10 сек.
Однако по сравнению с характерным временем 10~23 сек эти процессы протекают все же очень медленно, и отвечающее за них взаимодействие достаточно рассматривать лишь в наинизшем порядке. Поэтому я0 и К° также будут рассматриваться как стабильные в процессах сильного взаимодействия типа (9.2).
Кроме взаимодействий типа (9.2) и (9.3), в которых участвуют частицы со спином 0, заряженные я- и /С-мезоны взаимодействуют с фотонами и внешним электромагнитным полем. Для того чтобы подчеркнуть сначала сходство с электродинамикой дираковского электрона, мы в этой главе ограничимся рассмотрением электродинамики частиц со спином 0. Метод функции распространения для этих частиц будет развит на основе тех же физических принципов, что и в теории электронов.
С целью рассмотрения поведения мезонов во внешних полях при
низкой энергии, например связанных состояний я-мезоатомов, мы осуществим нерелятивистский переход в уравнении Клейна— Гордона и дадим его нерелятивистскую интерпретацию. Более общая проблема слабых и сильных взаимодействий рассматривается в следующей главе.
§ 42. Пропагатор для уравнения Клейна — Гордона
Решения уравнения Клейна — Гордона удовлетворяют уравнению непрерывности, которое, согласно (1.12), имеет вид
= -i-(V — - *Р—Y= 0.
дх^ дх^ V дхц дхц J
По теореме о дивергенции интеграл
Q=^d3 х /о (х) = i ^ d?x <р*д0(р, (9.4)
где введено полезное сокращенное обозначение
сохраняется для решений уравнения (9.1).
s 42J ПРОПАГАТОР ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КЛЕИНА — ГОРДОНА 187
Решения уравнения Клейна — Гордона в виде плоских волн с положительными и отрицательными частотами образуют а совокупности полный набор. Нормированные в ящике объемом V они имеют вид
рТ 1р-х
Г(*) = Л=’
V 2шр|/
где сор = ро > 0 и р2 = т2 в соответствии с условием Эйнштейна. Решения, нормированные в непрерывном спектре, записываются следующим образом:
(*) = ip'x J........ (9.5)
Р V(2я)3 2<Вр
для положительно- и отрицательно-частотных решений соответственно. Они удовлетворяют условиям ортонормированности:
\ d3x /<±>* (х) iKf?' (х) = ± 63 (р - р'),
(9.6)
J
d*xfi±r(x)id0fF4x) = 0.
Обратим внимание, что для суперпозиции положительно-частотных решений, т. е. для
ф(+) (*) = ^ d3p а+ (р) /<+> (*), (9.7а)
величина Q положительна,
Q = i\ d3x ф<+»‘ (*) <W+> (х) = + J d3p | а+ (р) \2, (9.76)
а для решений с отрицательной частотой, т. е. для
Ф(-> (*) — ^ d3p а_ (р) /<-> (*), (9.8а)
эта величина отрицательна,
Q = i ^ d3x ф(_>* (л:) д0 ф(_) U) = — ^ d3p 1 а- (р) |2. (9.86)
Именно в этом пункте заключается трудность для вероятност-
ной интерпретации решений уравнения Клейна — Гордона, так как для произвольной суперпозиции решений в виде плоских волн величина Q принимает как положительные, тчк и отрицательные значения.
Займемся построением фейнмановского пропагатора для уравнения Клейна — Гордона. Для этого найдем решения уравнения
(?*' + т2) Ар (х' — х) = — 64 (х' — х), (9.9)
которое описывает распространение вперед во времени положительно частотных и назад во времени отрицательно-частотных
188 УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА - ГОРДОНА [ГЛ. 9
частей волн. Действуя по аналогии с теорией Дирака (см.
(6.40) — (6.46)), перейдем путем фурье-преобразования к импульсному представлению, в котором &F имеет вид
А<9'|0)
Благодаря малой мнимой добавке к массе пропагатор (9.10) удовлетворяет требуемому граничному условию, которое состоит в том, что только положительные частоты распространяются вперед во времени, а отрицательные — назад. Как было показано в гл. 6, контур интегрирования в (9.10) однозначно задается этим условием.
Проверим, что контур интегрирования в (9.10) выбран правильно. Для этого проведем интегрирование по dp0, используя теорему Коши. Получим
д, (У _ „ _ _, 5 ^2$- =
= - i\ d3p /<+> (*') /<+>* (х) 0 (/' - t) -
- i \ d3p /<-) (x') /(->* (x) e (/-/'). (9.11)
