Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
196
УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА - ГОРДОНА
[ГЛ. О
2. Добавочный член Л^Л*1 во взаимодействии (9Л9) вносит
вклад ‘)
(9.35)
2 ie2g^.
Примером является амплитуда (9.30). Множитель i появляется благодаря тому, что параметром разложения для этого члена служит е2. Поэтому в порядке еА в результате я-кратной итерации (9.19) возникает множитель (—i)n, когда мы вычисляем вклад от (9.34) в этом порядке. Если член Л^Л*1 входит в вычисления т раз, появляется множитель (—t)n-m(—l)m — = (—i)n~2m(i)m; следовательно, в (9.35) возникает i. Необходимо постоянно помнить, что параметром разложения является е, а не порядок взаимодействия.
Рис. 9.6. Диаграмма для вершины, отвечающей взаимодействию вида мр* (р' + р)р. фА*.
Р'/
Рис. 9.7. Диаграмма для взаимодействия вида „2,
е A^A^tf ф.
Появление множителя 2 в (9.35) связано с тем, что всегда есть два способа сопоставить двум множителям в Л^Л^ кванты, которые уничтожаются, рождаются или рассеиваются в вершине (см. рис. 9.7). К амплитуде взаимодействия, которая соответствует сумме всех диаграмм, вносящих вклад в данном порядке по е, можно применить критерий калибровочной инвариантности. Мы уже пользовались этим критерием для проверки (9.30). Таким образом, мы имеем полезный и очень простой способ проверки правильности вычисления относительных вкладов от членов р-Л + Л-р и А-А в (9.19).
3. Пропагатор внутренней линии, которой соответствует импульс р, мы заменяем согласно
‘ -----------------------------1----- (9.36)
р — т + ie р т. е. делаем замену р + т
2 — тг + /е > 1.
р2 — т2 + ie ’
*) Имеется исключение из этого правила — двум испускаемым из одной точки фотонам, образующим замкнутую петлю, соответствует множитель 1/2 (см. задачу 9.11).
ПРОЦЕССЫ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
197
4. Для внешних линий мы заменяем электронные спиноры следующим образом:
V?“<^vsr (9'37)
Все остальные множители г и 2л в точности такие же, как для электронов. Остается лишь вопрос об относительном знаке минус. В случае электронов мы, руководствуясь принципом Паули, производили антисимметризацию относительно перестановки двух тождественных частиц. С другой стороны, эксперимент свидетельствует о том, что я-мезоны являются бозонами, т. е. по ним имеется симметрия согласно статистике Бозе — Эйнштейна. В частности, в реакции
К+ -> я+ +
два я+-мезона испускаются в относительном s-состоянии. Кроме того, есть серьезные теоретические основания, впервые указанные Паули, для связи между спином и статистикой. Эта связь такова, что частицы с полуцелым спином подчиняются принципу запрета (являются фермионами), а по частицам с целым спином имеется симметрия (они являются бозонами).
Вопрос о связи спина со статистикой рассматривается в квантовой теории поля [90]. Пока мы просто примем, что частицы со спином 0 являются бозонами и подчиняются условию симметрии. Это означает, что между диаграммами, отличающимися перестановкой бозонов, должен быть относительный знак плюс вместо минуса для случая фермионов.
Теперь не будет множителей (—1) для замкнутых петель или между диаграммами рассеяния и аннигиляции. Мы вводили их в диаграммы для электронов, как, например, в амплитуды (8.2) и (8.5), соответствующие диаграммам на рис. 8.1,6 и 8.1, д, исходя из принципа Паули в теории дырок. Для бозонов нет заполненного моря с отрицательной энергией и относительные знаки следует получать путем иных рассуждений.
В кулоновском рассеянии одинаковых бозонов между двумя диаграммами, изображенными на рис. 9.8, имеется знак плюс. Амплитуда рассеяния бозона на антибозоне получается отсюда заменой знака энергии для двух линий; например, с помощью подстановки
<72+->— р2 (9.38)
мы получаем амплитуды для двух диаграмм, изображенных на рис. 9.9.
Относительный знак двух амплитуд, соответствующих диаграммам на рис. 9.9, остается положительным, если замена
198
УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА—ГОРДОНА
[ГЛ. 9
>/ Рг/
v' / )rv\rvr\nj(
4 4V
A <5\
/ \
V* V
V /
Vww4/
/ \
/ V
/ Я <5 V
/ \ / ' ' '
Рис. 9.8. Кулоновское рассеяние я+-мезона на я+-мезоне.
V/
/
V\/W\Aj( / \
ч
V/ /-73?
/ \
/<5
Рис. 9.9. Кулоновское рассеяние я+-мезона на я--мезоне.
\ / \
и V \l ¦
\ / \ 7
- / \ /
1
/ \
I у
'' \ /
А 4
V
/ ч
/>
/ \
/
/ \ /
(а)
(Ф
/ \
\
(*)
Рис. 9.)0. Вкладу четвертого порядка в кулоновское рассеяние я+ — я;-’.
