Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
В обычном рассеянии мезонов (рис. 9,2, а) мы имеем после рассеяния при t-*¦ оо волны с положительными частотами и амплитуда рассеяния находится путем выделения из рассеянной волны (9.20) положительно-частотной проекции:
S • = lim [ d3x fW'iХф M =
Р + ’ Р+ <-»00 J р +
= б3 (р'+ - Р+) - * 5 d*y (у) V (У) Ф (уУ, (9.21)
здесь ф(у) дается уравнением (9.19), в котором свободная волна с положительной частотой }^(у) отвечает падающему мезону. Вероятность перехода равна |5р' р |2.
Для процесса рождения пары (рис. 9,2, г) мы вновь, как и в (9.21), выделяем волны с положительными частотами, однако на этот раз ф(у) представляет собой рассеянную волну, возникшую из падающей волны с отрицательной частотой f(~*(y) в
(9.19). В соответствии с (9.14) волна с отрицательной частотой является «падающей» при «/0-*+°°, поскольку посредством про-пагатора AF(x — y) она распространяется только назад во времени. В полной аналогии с основными правилами, выведенными в гл. 6 для случая позитронов, мы сопоставим распространению назад решения с отрицательной частотой и квантовыми числами р_ испускание антимезона, например я~-мезона, с положительной энергией и 4-импульсом р~
Для нахождения амплитуды аннигиляции пары, изображенной на рис. 9.2, в, мы выделяем при t —> —оо отрицательно-частотную часть рассеянной волны (9.20):
5Р_, р = — lim ( d3x {<¦->* (х) i% ф (у) =
т i-»-oo J и—
= - г J d*y /<,-)* (у) У (у) ф (г/); (9.22)
здесь Ф(у) дается уравнением (9.19), в котором налетающий я+-мезон описывается волной f^(y) с положительной частотой
и 4-импульсом р+. Как обычно, налетающему я_-мезону с положительной энергией и 4-импульсом р_ соответствует волна с отрицательной частотой f<~)*(y), распространяющаяся от взаимодействия V(у) назад в прошлое.
192
УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА - ГОРДОНА
[ГЛ. 9
Наконец, рассеяние я~-мезона (или антимезона), изображенное на рис. 9,2,6, дается формулой (9.22), где по-прежнему <р(у) определяется уравнением (9.19). Однако «падающая» от-рицательно-частотная волна п+-мезона описывается теперь функцией которая соответствует конечному лг-мезону, ис-
пускаемому после рассеяния с положительной энергией и 4-импульсом р'_, т. е.
5р_ р1 = б3 (р_ - р'_) - / J d*y (у) V (у) ф (у). (9.23)
Сравнение с методом функции распространения для позитронов, изложенным в гл. 6, показывает, что полученные сейчас правила написания элементов S-матрицы по своему физическому смыслу совпадают с рассмотренными в гл. 6.
Практические правила вычисления вероятностей переходов под действием электромагнитного взаимодействия могут быть получены путем рассмотрения нескольких простых примеров, как было сделано в гл. 7 для электронов.
§ 45. Процессы рассеяния низшего порядка
В качестве первого примера рассмотрим кулоновское рассеяние я+-мезона в низшем порядке по е. В этом приближении член e2Av.Av- в (9.19) может быть отброшен.
Амплитуда перехода для диаграммы на рис. 9.3 находится из (9.21), где надо положить Ф (у) « /^+) (у). При q = Pf — р{ ф О
\ член с 8-функцией равен нулю и мы полу-
Форма тока в (9.24) напоминает независящую от спина часть в разложении Гордона для тока электрона. Подставляя в (9.24) выражение для A^(q) в случае статического кулоновского потенциала
чаем
\
\
АДАЛАЛХ
pf¦ Pi
/
/
Ze
/
/
где
Рис. 9.3. Кулоновское рассеяние я+-мезона.
A4q)^\diyeiq-vA^{y).
Л11 (q) = 2л6 (caf — со*) g^°,
(9.25)
ПРОЦЕССЫ РАССЕЯНИЯ НИЗШЕГО ПОРЯДКА
193
мы получаем сечение путем обычной процедуры возведения в квадрат, суммирования по конечным состояниям и деления на падающий поток. По аналогии с (7.10) находим
(2я)з j4 л ж/ чГ' Ze>, + m<) 1 f
- d'pf 2nd (cof — соi) I--------------------1
L1
da -
(2я)3 ^2(0^ • 2to(. da Z2 a2
(9.26)
dQ 4p2p2 sin* (0/2) ’
Полученное выражение отличается от соответствующей формулы (7.22) для электронов отсутствием множителя [1 — р2 sin2(0/2)], который связан со спином.
