Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
кинетической энергии. В данном случае матрица р = ( ^ )
/1 0 \
является неэрмитовым аналогом матрицы a, ari=l0 J —
аналогом р, где аир — матрицы, осуществляющие преобразо-ние уравнения Дирака. Рассуждая так же, как при выводе
(4.1), положим
Ф' = е'«Ф, (9.49)
где
S = np0(p) = (J J)e(p). (9.50)
Отсюда находим, что при
e(p)=-iarctg (9.51)
нечетные операторы р исчезают из гамильтониана (здесь
p = -j-V). Преобразование, задаваемое формулами (9.49) —
(9.51), является неунитарным, и с его помощью неэрмитов гамильтониан (9.48) приводится к следующему виду:
Н'0 з= е15Н^~15 = л д/m2 + р2. (9.52)
В такой форме решения с положительной и отрицательной энер-
гией полностью разделяются, а соотношение между энергией и импульсом оказывается точно таким же, как для свободных электронов. Единственное отличие (9.52) от (4.1) состоит в том, что в (9.52) нет удвоения числа решений за счет спиновой степени свободы. Поскольку гамильтониан Н'0 эрмитов, в этом
представлении можно дать вероятностную интерпретацию решениям Ф'. Для решений с положительной частотой
ф'<+> (Х) = e-'V ( J ) fl<+> (х) (9.53)
имеем ________
л/т2 + р2 а(+) (х) = (opa<+) (х). (9.54)
202
УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА — ГОРДОНА
[ГЛ. 9
При этом плотность вероятности дается выражением
Р (х) = | а<+> (х) I2, (9.55)
а энергия равна
сор = J ф'<+)* (х) Но (х) Ф,(+) (х) d3x. (9.56)
Для решений с отрицательными частотами запишем
ф'<-> (х) = ешр* ( J ) а<-> (х). (9.57)
Собственные значения энергии находятся из уравнения, аналогичного (9.54): ________
Ут2 + Р2 а(-) (х) = (ора(~} (х), (9.58)
а для вероятности имеем выражение типа (9.55):
Р (х) == | а(_) (х) |2. (9.59)
Однако теперь благодаря присутствию г| в (9.52) среднее от гамильтониана равно собственному значению энергии, взятому со знаком минус:
(О р=-\ Ф'<-)* (х) Н'о (х) ф,<_) (дс) d3x. (9.60)
Мы отождествим Ф'<-)*(д:) с волновой функцией античастицы,
/ /*
так как из (9.52) для свободной частицы имеем Но = Но и согласно методу функции распространения (см. 9.11), (9.10) и (9.5)) вперед во времени распространяется подвергнутое комплексному сопряжению решение с отрицательной энергией.
Если имеется внешнее электромагнитное поле, то уравнение Клейна — Гордона уже не удается привести к диагональному виду, т. е. разбить на отдельные уравнения для положительных и отрицательных частот. Однако, действуя так же, как при переходе от (4.2) к (4.4), можно добиться приближенной диагона-лизации для случая слабых, медленно меняющихся полей. Введем, как обычно, взаимодействие с полем в уравнение (9.1) путем минимальной замены
Рц “* Рц
Тогда уравнение Клейна—Гордона, записанное в двухкомпонентной форме (9.48), примет вид
'тгМ(-1 _!)?+(!
где л = р — еА. Определение ф здесь такое же, как в (9.46) и
(9.41), с заменой (9.39) на
& = Ы + /е<Р М]*
НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД
203
(ф = Ли). Если в (4.2) мы отождествим
P = 4 = (J _J),
0 = = 1)-ш> <9-61>
Я^еу + ц-^,
то придем к (4.4) с заменой р на т|. В частном случае статического внешнего поля получим приближенное уравнение Шредингера, содержащее члены до порядка 1/т4:
1 = Н'Ф', Ф' = е‘5Ф
dt ’
с гамильтонианом
Н' =ri(m ¦ • •) + «р + 32^ К К вф]] + •••
(9.62)
Первый член представляет собой разложение Ут2 + я2 и описывает релятивистский эффект увеличения массы; такой же член был в теории Дирака. Последнее слагаемое в (9.62)—это дарвиновский член; он служит поправкой к классическому электростатическому взаимодействию точечного заряда бф(х) подобно поправке на «дрожание» в дираковской теории. Однако, в отличие от (4.5) и (4.7), здесь он впервые появляется в порядке 1/т4.
До тех пор, пока мы ограничиваемся физическими задачами, для которых процедура Фолди — Ваутхайзена является сходящейся, и несколько первых членов ряда (4.4) или (9.62) дают результаты, близкие к точным, мы можем рассматривать взаимодействия мезонов в рамках нерелятивистской квантовой механики. С точностью до удержанных в Н' членов решения с положительной и отрицательной частотой в этом представлении разделяются и гамильтониан оказывается эрмитовым, поэтому возможна традиционная вероятностная интерпретация, основанная на приведенных в гл. 1 постулатах.
