Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
ш2 (1 — z\)2 + №z\ — q2z2z2 — ге
з
ОО ОО ОО - 3 \
\ \dzxdz2dzzb(\
ООО 4 1=1 7
4я
Vv [?' (1 — г2) — ргъ + т) Уц [р (1 — г3) — p'z2 + т\ yv X т2 (1 — гО2 + Я221 — 922223 — ге • ( • /
В знаменателе последнего числа перенесем, с помощью правила антикоммутации, р и р' на края, где они могут действовать на электронные спиноры, в обкладках из которых стоит Лц. Далее воспользуемся соотношением Гордона (3.26). Тогда знаменатель последнего члена принимает вид
- Yu [2m2 (1 - 4г, + 22) + 2q2 (1 - z2) (1 - z3)] - 2mztz2 [<?, yj-
(8.61)
где
с s (p'z2 + pz3) • (p'z2 + ргъ) + Я2Zi — (p'2 — m2) z2 — (p2 — m2) z3 =
= — p'2z2 (1 — z2) — p2z3 (1 — z3) + 2p ¦ p'z2zz + m2 (1 — 21) + Я221 =
= — (p'2 — m2) z2 (1 — z2) — (p2 — m2) 23 (1 — 23) — q2z2z3 +
+ m2 (1 - г,)2 + Я2*,.
D интеграле ^ d*k сначала проводим интегрирование no dka. Полюсы по dk0
расположены в точках ± V| k I2 + с . С помощью добавки 4= ге сместим их с контура интегрирования следующим образом:
к2 — с + ге = {k0 — У| к |2 + с + ге) (k0 + Vl к |2 + с — ге).
Это дает
ОО
1 л2
\
d*k
[k2 — с + ге)3 2гс ‘
— ОО
Для произвольной степени знаменателя п > 3 ответ получается дифференцированием этого равенства по с. Поскольку знаменатель зависит только от k2, нетрудно учесть зависимость от kд в знаменателе: все нечетные степени kU о, k^ky -> 'Ug^yk2 и т. д.
174
ПОПРАВКИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ к МАТРИЦЕ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. 9
Интегрирование по переменным г,- в общем случае сопряжено с трудностями, хотя его все же удалось провести аналитически1). Мы ограничимся двумя предельными случаями, когда \q\2<^.m2 и \q\2^>m2. В первом случае с точностью до членов порядка q2 включительно имеем
Y, + К (Р', Р) ~ Y, [l + ^ (in -у - -§-)] + 8^г W- Y (8-62)
При |<7|2 т2 получаем только члены, зависящие от %:
У. + к <?. ,) « v. { ! - ? |„ ?[1„ ??1 - 1 + О (¦?)]} .
(8.63)
Складывая эти результаты с вкладом от поляризации вакуума, мы получаем радиационную поправку порядка а к рассеянию электрона во внешнем поле, которое является источником фотона q. Из (8.26) заключаем, что в пределе малых переданных импульсов поляризация вакуума добавляет постоянную
— ‘/б к —3/8 в (8.62) и не влияет на члены, содержащие инфракрасную расходимость и магнитный момент.
Последний член в (8.62) приводит к добавке к магнитному моменту электрона, равной а/2зт. Действительно, в статическом пределе он следующим образом видоизменяет взаимодействие электрона с внешним полем:
- ieu (р') (y„ + ^ ^-) и (р) Л11 (q) =
= - ieu {р') [ (- + (l + 2я") ] u ^ A>1 (8-64)
Поправочный фактор (1 + а/2л) к магнитному моменту электрона был впервые получен Швингером [78] в 1948 г. и его существование было подтверждено экспериментально [79].
Затем появилась возможность экспериментально наблюдать поправку порядка а2 к магнитному моменту. Ее теоретическое значение [80] равно —(а2/я2) (0,328), что согласуется с современными экспериментальными данными2). Теоретический результат был получен из рассмотрения вершинных диаграмм с двумя виртуальными фотонами3).
*) См. [54]. Для случая, когда электроны находятся вне массовой поверхности р2 Ф от2. р' Ф от2, см. [74].
2) Последнее экспериментальное значение для ц равно [81]
ц = 1 + а/2я — [0,327 ± 0.005] а2/я2.
3) После издания английского оригинала книги для аномального магнит^
ного момента электрона были получены значительно более точные экспери-
ментальные и теоретические значения. Экспериментальное значение в настоя-
ПОПРАВКИ К ВЕРШИНЕ
175
Другие члены в (8.62) и (8.63) приводят к появлению инфракрасной расходимости в сечении рассеяния электрона. Однако эта расходимость исчезает, если учесть вклад, вносимый в сечение тормозным излучением мягких фотонов. Любая экспериментальная установка имеет конечное разрешение по энергии, поэтому, если детектируются электроны, имеющие разброс по энергии АЕ, то число зарегистрированных событий отвечает сумме упругого сечения и сечения тормозного излучения, приводящего к электронам с энергией, отличающейся от энергии упруго рассеянных электронов не более чем на АЕ.
