Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
[ _!__________vH
J (2я)3 J 2я p — k — m + ге
1
- (2я)3 J 2я 11 p — k — m + ie k2 — Я2 + ie
Ik|<*roin
(8.73)
Поскольку мы ищем изменение перенормировочной константы Z2 (в 6т не содержится инфракрасной расходимости), выражение (8.73) должно быть вычислено с точностью до членов порядка р2— т2 включительно.
Сначала, как и для вершины, проведем интегрирование по к0 в первом порядке1) по р2 — т2:
= \ ---------------------+ ----------------------------=
,J (2я)>2-Лг + 1! l’-26-р-Кр’-т’)
I К К*Ш|П
_ , р2 f d3k {р2 - т2) уц (Р + т)
~ (2я)3 2 Vk2 + Я2 (Я2 -2k-р) +
I I < min
+ О {{р2 — т2)2) + О {kmln) «
~ + е2 \ ----:—-¦ / -— - ¦ —-— (/) — «г). (8.74)
ini . (2л) 2 -у к2 + Я2 (k-p)2 W \ t
' * min
Таким образом, с учетом изменений в фотонном пропагаторе вершина меняется на величину
6Л„ + A SZ (р') V, + 4 V, -г4- «2 (р) =
т гц- 1 2 Щ р-т
I
(2я)3 2 Vk2 + Я2 Х [ (р • k) (р' -k)~ 2(p-k)2 ~ 2 (р> . fc)* ] • (8‘75)
2 \ d3k v J /о„\з О л/С2 i 5Т ^
lkK*min
*) О(kmin) вносит в бт пренебрежимо малое изменение,
§ 40]
ЛЭМБОВСКИЙ сдвиг
179
Мы взяли половину вклада собственно-энергетических частей, изображенных на рис. 8.10, а и 8.10, г, так как поправка ^/z2^ 1 + V2 (-2^2— 0 относится к волновым функциям внешних частиц.
Вычисление (8.75) в нерелятивистском пределе \q2/m2\<g. 1 дает
При |<72/m2|^> 1 для членов с инфракрасной расходимостью получаем
Отсюда мы видим, что при обрезании с помощью Li. для инфракрасной части сечения упругого рассеяния вместо (8.65) имеем
Добавляя сюда сечение тормозного излучения (8.67), получаем инфракрасную часть сечения рассеяния с учетом излучения фотонов с энергией меньше, чем kmax:
Результат не зависит от femin и X [82, 83].
§ 40. Лэмбовский сдвиг
Можно считать, что поправка к рассеянию (8.77) возникает благодаря добавочному «эффективному потенциалу», который действует между электроном и источником фотонов. В качестве последнего возьмем ядро с зарядом Ze. Изменение энергии атомных уровней за счет этого добавочного взаимодействия представляет собой лэмбовский сдвиг, который мы можем теперь обсудить более подробно, чем в гл. 4, где были приведены простые физические соображения.
Таким образом, из (8.62) и (8.71) имеем
(8.77)
и, следовательно, из (8.63) и (8.71) находим
л; (р'.р, 1]. (8.79)
180
ПОПРАВКИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ К МАТРИЦЕ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. 8
Эффективное взаимодействие в импульсном пространстве между электроном и источником тока eA^(q) складывается из (8.77) и вклада от поляризации вакуума (8.26):
+^г^(1п 2^ + |-|~у)] +
+1 a^qV} “ ^еА'х ^ • (8-82^
Выражение (8.82) описывает поправки порядка а к оператору тока электрона й(р') (р), обусловленные фотонами с им-
пульсами, большими, чем kmin. Оно справедливо при малых переданных импульсах q^ — p'» — Р^, удовлетворяющих условию \q2/m2\ < 1. Для электрона в кулоновском поле ядра с зарядом Ze источник тока есть eAv-(q) =—(Ze2/|q|,0) и (8.82) принимает вид
-"+(p'){-jfjr[l -Ж^(1п'25^Г + 1‘“4_т)] +
+ 4^-v - Ч} ^ <р). (8.83)
Первый член не зависит от спина и является фурье-преобразова-нием эффективного потенциала, имеющего вид
Za | 4а Za /, т ,11 1 'v „о , ч
+^-^(1П2^Г+ 24 “У)6 W-
В водородоподобном атоме он приводит к сдвигу энергии уровней, который в первом порядке теории возмущений равен
4Е? = ? # I ¦„» О) f 0" + Ж - Т) ¦ <8-84>
Этот сдвиг обусловлен фотонами с импульсами, большими, чем К нему надо еще добавить вклад от мягких фотонов с импульсами меньше Lm.
Естественно ожидать, что параметр обрезания имеет порядок ^min^< (2а) m, т. е. соответствующая длина волны фотона велика по сравнению с атомными размерами. Нельзя выбрать &mln произвольно малым, так как при р2 — т2 ~ (Za)2m2 пропагатор связанного электрона отличается по виду от пропагатора свободной частицы. Для электрона в атоме имеем
р»~ {т + V, р),
где
V~{Za)2m и \p\~Zam.
В проведенном ранее вычислении собственно-энергетической части 2(р), так же как и вершины Лц (см. (8.74)), мы предполагаем
k ¦ р л; kmlam » р2 — т2~ (Za)2 т2.
§ 40] ЛЭМБОВСКИЙ СДВИГ 181
Для фотонов с импульсами меньше km\n релятивистские поправки должны быть малыми, т. е. содержать более высокие степени Za, и можно решить задачу в нерелятивистском приближении, как было впервые сделано Бете [84].
