Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Возьмем волну общего вида, содержащую как положительные, так и отрицательные частоты,
Ф (х) = ф(+) (х) + ф(_) (л:). (9.12)
Тогда из (9.6) и (9.11) прямым вычислением находим, что ДР(л/ — х) обеспечивает распространение вперед во времени только волн с положительными частотами
— /0 (/' — t) ф(+) (х', /')= ^ d3xAP(x'—¦ х) id0q>i+) (х, () (9.13)
и назад во времени волн с отрицательными частотами
/0 (t — tr) ф(-) (х', /') = — ^ d3x АР (х' — х) idоф(-) (х, t). (9.14)
Формулы (9.13) и (9.14) аналогичны (6.49) и (6.50) для уравнения Дирака.
§ 43. Введение электромагнитных потенциалов
Взаимодействие мезона со спином 0 с электромагнитным полем вводится, как и для уравнения Дирака, с помощью минимальной замены
рц р‘1 - e/f {х). (9.15)
§ 43] ВВЕДЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ ]?9
Сначала будем считать А^-(х) приложенным внешним потенциалом. Вводя (9.15) в уравнение (9.1), получаем
еАПУ — т2]ф(х) = 0. (9.16)
Для уравнения (9.16) по-прежнему имеется сохраняющийся поток, который по аналогии с (1.12) равен
/и = ф* (*) — e/f (*)) ф (*)] —
+ (9Л7)
Соответствующий сохраняющийся заряд имеет вид
Q=^d3x ф* (х) [г д0 — 2 еА° (*)] <р (*). (9.18)
Амплитуда рассеяния на этом потенциале плоской волны,
описывающей падающий заряженный мезон, дается решением уравнения (9.16). Принимая фейнмановское граничное условие, согласно которому вперед во времени распространяются рассеянные волны только с положительными частотами, а назад — с отрицательными, мы интегрируем (9.16) с помощью фейнма-новского пропагатора (9.10):
(?, + /п2) Ф (х, /) = - ie Л" + #-JLy + еМрИЧ (9.19)
Ф (х, /) = ф (х, /) + ^ d*y АР {х — у) V (у) Ф (у),
где
F {у) = {у) + А'1[У)Ф)~ еМ**{У) {у)-
Уравнение (9.19) аналогично уравнению (6.53) для дираковских частиц, и решения обоих уравнений имеют близкий физический смысл. Мы требуем, чтобы в результате рассеяния в будущее распространялись только волны с положительными частотами, отвечающие частицам с положительной энергией. Выполнение этого требования обеспечивается интегрированием с фейнманов-ским пропагатором в (9.19). Если воспользоваться (9.11), интегрирование дает /) =
= Ф (х, 0 - / J d3P f<+) (х) J d*y 0 (i - у0) f<+>* (у) V (у) ф (у) -
- I J d3p f <-> (х) J d*y 0 (у0 - 0 f <->* (у) V (у) ф (у). (9.20)
Это выражение содержит также волны с отрицательными частотами, которые распространяются назад, в прошлое. Однако с
190
УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА - ГОРДОНА
[ГЛ. 9
точки зрения экспериментатора, наблюдающего за показаниями приборов, поглощение в прошлом частицы с отрицательной энергией и зарядом е равносильно испусканию частицы с положительной энергией и зарядом —е. Таким образом, мы приходим к фундаментальному предсказанию, допускающему экспериментальную проверку, которое состоит в том, что для каждой частицы в природе существует противоположно заряженная античастица.
Частица может не нести заряда и в этом случае она может оказаться тождественной своей античастице, Такая частица существует в природе — это я0, нейтральный я-мезон со спином 0. Хотя я0 не участвует в задаваемом (9.15) электромагнитном взаимодействии, пропагатор свободных я°-мезонов может быть построен в полной аналогии с изложенным в § 42. Поскольку для я0 ток и заряд (9.4) равны нулю, то в отсутствие взаимодействий я0 будет описываться действительным решением ф =
— Ф* свободного уравнения Клейна — Гордона. Тогда фейнма-новский пропагатор (9.11) будет, как и для заряженных мезонов, соответствовать распространению положительно-частотной части ф вперед во времени, а отрицательно-частотной — назад.
§ 44. Амплитуды рассеяния
Направляя мировые линии в разные стороны, т. е. вперед и назад во времени, как показано на рис. 9.2, мы тем самым включаем в рассмотрение, помимо амплитуд собственно рассеяния,
X X X X
(а) (6) (в) (г)
Рис. 9.2. Диаграммы для рассеяния частицы и античастицы, рождения и анни'
гиляции пары.
еще и амплитуды рождения и аннигиляции пар частица-античастица в полной аналогии с изложенным ранее для электронов.
Вычисление амплитуды рассеяния или перехода производится путем последовательной итерации уравнения (9.19). Количество итераций определяется требуемой точностью получения ф. Свободное решение ф в (9.19) представляет собой нормированную свободную волну в отсутствие рассеяния, Амплитуда пере-
§ 441 АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ 191
хода в состояние, в котором частица обладает заданным импульсом р'+, получается путем проектирования рассеянной в результате взаимодействия волны на нормированную свободную волну с импульсом р'+. Вероятность перехода дается тогда квадратом модуля этой амплитуды.
