Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 8.10. Радиационные поправки второго порядка ^"рассеянию во внешнем
электромагнитном поле.
Нет необходимости вычислять Z\, так как прямое сравнение (8.49) при р'= р с пропагатором 2(/р), задаваемым формулой (8.34), показывает, что
A„(pf = (8.51)
Здесь мы использовали следующее важное тождество: д 1 _ 1 1 др^ р — т р — т ^ р — т
(8.52)
Оно означает, что дифференцирование свободного пропагатора по импульсу эквивалентно введению в соответствующую линию фотона с нулевой энергией. Вычисляя производную (92 (р) /др*
5 391 ПОПРАВКИ К ВЕРШИНЕ \J\
непосредственно из (8.42), получаем
«(р)Лц(р, p)u(p) = {Z2] — l)u(p)y»u(p), (8.53)
или, согласно (8.50),
Z, = Z2 (8.54)
с точностью до е2.
Следовательно, в этом порядке поправка к вершине равна
К(р', p) = (Z2“‘ — l) Yu + Л? (р', р). (8.55)
Вся зависимость от обрезания содержится в Zb Величина At(p',p) является конечной при условии, что инфракрасная катастрофа устранена введением массы фотона X > 0. Кроме того, она удовлетворяет условию
й(р)К(р, р)и(р) = 0 (8.56)
и определена однозначно.
Можно считать, что Z| либо перенормирует заряд е в вершине, либо просто сокращает -\JZ2 в перенормировке внешних линий. В этом проще всего убедиться путем рассмотрения всех диаграмм порядка не выше е2, дающих вклад в процесс рассеяния электрона вперед на внешнем потенциале. Эти диаграммы приведены на рис. 8.10.
Ниже перечислены вклады каждой из них в пределе <7~>0:
(а) — iey
(Q-iey^ZT1- 1),
(в) + Ьт (- iey») — (Z2-‘ — l)(— ieyJ, (8.57)
(*) — bm (— fcYu).
(d) — i (—iey,J 1 n i-г = — ieyд (Z3 — 1).
Как было показано ранее, надо еще поделить эти выражения на д/Z2 для каждой внешней электронной линии и на Vz3 Для каждой внешней фотонной линии. Сумма всех этих вкладов с точностью до порядка е2 равна
=¦ (-ieyji 1 + (zr1 - 1) - 2 (Z2-' - 1) + (Z3 - 1)] «
2.2 Vz
;,V5‘ [T +(/;-' -J)]!
= —/eZr‘Z2 V^3Yn= — «e^Yn, (8.58) где при последнем преобразовании мы использовали (8.25) и (8.54). Таким образом, перенормировочные константы в вер-
172
ПОПРАВКИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ к МАТРИЦЕ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. 8
шинной части и в пропагаторе полностью сократились. Перенормировка заряда целиком обусловлена поляризацией вакуума.
Целесообразность сложных обозначений, принятых при выводе (8.58), оправдывается при рассмотрении более высоких порядков. В частности, (8.51) и соотношение (8.54), согласно которому Z\ — Z2, справедливы во всех порядках (так называемое тождество Уорда). То же относится и к утверждению о том, что все расходящиеся интегралы можно включить в пере-нормировочные константы Zb Z2 и Z3 [50].
Мы уже указывали на наблюдаемый физический эффект, обусловленный конечной частью диаграммы поляризации вакуума. Обращаясь к конечным вкладам от вершинной и электронной собственно-энергетической частей, мы также получим интересные физические предсказания.
Рассмотрим вершинную часть Аа(р',р), задаваемую интегралом (8.49). Его вычисление требует довольно громоздких выкладок. Прежде всего придадим электронным пропагаторам вид, содержащий в знаменателе квадраты импульсов, а затем объединим знаменатели, пользуясь либо экспоненциальным представлением, как в (8.12), и масштабным преобразованием (8.18), либо непосредственно по формуле1)
dz | • • • dzn6 f 1 — ХгЛ
= (п - 1)! \ --------------г } • (8.59)
а\ • • • ап
о
оо
¦I
*) С помощью этого интеграла Фейнмана [54] вычисления проводятся следующим образом:
d*k f (k)
k2 — к2 + ie (p' — k)2 — m2 + ie (p — k)2 — m2 + ie
oo oo oo
= 2 ^ ^ ^ dzi dz2 dz3 6 (1 — Zi — z2 — z3) X
0 0 0
f ______________________________________d*kf(k)__________________________________________
[ft2 — 2k • p'z2 — 2k ¦ pz3 — X22j + (p' — tn2) z2 + (p2 — m2) z3 + ге]2
OO OO OO 00
4 f d4k I (k + p'z2 + pz3)
J J J 1 2 3 ( ~ г‘ ~ гг - Zi) )-----(k2-c + ie)3 ---------
0 0 0 —oo
ПОПРАВКИ К ВЕРШИНЕ
173
После интегрирования no k и обрезания расходящегося интеграла путем введения параметра Л2 находим
Лц (р' 1 p) = ^Y(1[ln'^ + 0(1)] +
оо оо оо
