Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Проверим с точностью до членов порядка е2 утверждение о том, что такая сумма упругого и неупругого сечений конечна и свободна от инфракрасной расходимости. Для этого сопоставим выражения (7.64), (8.62) и (8.63). С точностью до порядка е2 «инфракрасная» часть упругого сечения имеет вид
Здесь (de/dQ),0 представляет собой вклад наинизшего порядка в упругое сечение. Сечение тормозного излучения согласно
(7.64) равно
Мы видим, однако, что выражения (8.65) и (8.67) нельзя складывать непосредственно, поскольку обрезание по фотонам с малой энергией введено в них различным способом.
Для преодоления этой трудности необходимо либо вновь получить сечение тормозного излучения, введя конечную массу фотона, либо заново вычислить поправки к вершине, наложив запрет на излучение фотонов с энергией меньше йт1п. Мы выберем вторую возможность, чтобы избежать трудностей, связанных с появлением реальных продольных квантов при отличной от нуля массе фотона X. Следует, однако, иметь в виду, что обрезание с помощью параметра йт1п является нековариантной операцией, поэтому, проводя перенормировку вершины таким способом, необходимо соблюдать осторожность в выделении перенормированных частей. Именно по этой причине мы ранее про-
где
(8.66)
(8.65)
Щее время принимается равным (1159656,7 ± 0,5) • 10-9, а разность между экспериментальным значением и теоретическим с учетом второго порядка по а составляет (см. [81]) (1,68 ± 0,33) (а/я)3. (Прим. перев.)
176
ПОПРАВКИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ К МАТРИЦЕ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. 8
вели перенормировку с помощью инвариантной массы фотона X. Для упрощения математических выкладок положим &mln X. Итак, вернемся к выражению (8.49) и преобразуем фотонный
Рис. 8.11. Области в импульсном пространстве, в которых пропагаторы подвергаются изменению благодаря инфракрасному обрезанию.
пропагатор таким образом, чтобы при k < km\n амплитуда обращалась в нуль. Это означает, что задаваемый формулой (7.30) фотонный пропагатор DF(x — у,Х),
П„ (к — ,, V) — / \ -------^-3.--- />iq-(x-y)-? Hoi I Хц—yt I —
Up ^X у, A) j (2я)з 2 | q0 | e
= ~ J 72itF q2 - x2 + ie ’ (8-68)
мы преобразуем к виду
DP (X - у, kmln) = i J (2пУ2\ q | ^'Ч'(Х-у)"г 1 *1 Uo_I/o 1 «
Dp(x — у, X) — i ^
. giq’(x-y)-i I ?0 1 I I :
(2я)3 2|?0.
14 Kfcmln
OO
- D, (»¦- Я) + J S ^ ^¦ (8-69)
>4l<fcnrin
где __________
^0= Vq2 + ^2, ^mln ^ ^ (8.70)
39]
ПОПРАВКИ К ВЕРШИНЕ
177
Области в импульсном пространстве, в которых обрезание изменяет пропагаторы, изображены на рис. 8.11.
Соответствующее изменение 6Л[1(р', р) в вершине (8.49) равно
бЛй(/, р) = А11{р', р, к) — Лй {р', р, kmfn) =
ie‘
f d3k f
3 (2л)3 J
dk„
X
(2л)3 J 2л
— oo
\v (p' — k + m) Yd (p - k + m) y'
X
(k2 — X2 + ie) \(p’ — k)2 — nr + ге] [(p — k)2 — m2 + ге]
(8.71)
Это выражение не содержит ультрафиолетовой расходимости благодаря ограниченности области интегрирования.
Для вычисления (8.71) проведем сначала интегрирование по k0. Выберем контур интегрирования в комплексной плоскости ko, как показано на рис. 8.12, и воспользуемся теоремой Коши.
I mfy
XXX **2ро Ш0
1 ^ * 1
\ Ук2+Аг / /
V Ро+i/(k-p/+w W/j,/
Рис. 8.12. Особенности на плоскости k0, учитываемые при вычислении
бЛц (р'> Р)-
Контур охватывает три простых полюса, которые указаны на том же рисунке. В предельном случае kmm -С т в интеграл дает вклад только вычет в полюсе, расположенном в точке ?о = -\А2 + ^2- Выражение для 8А»(р',р) принимает вид
Г d3k
6Лц (р р) = — е2 \ -.
й н , J (2п)ъ2л/к2+ Х2
|к 1<*ш1п
yv (р' + т) (р + т) yv
(2k ¦ р) (2k- р')
d3k
Р ¦ Р
(2я)3 2 Vk2 + 'X2 (к ¦ р) (к ¦ р')
(8.72)
ikl<*mln
Подчеркнем еще раз, что 6Л^ ставится в обкладки из спиноров.
178
ПОПРАВКИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ к МАТРИЦЕ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. 8
Перенормировка оказывается теперь весьма тонкой операцией, поскольку обрезание проведено нековариантным способом. Благодаря тому, что равенство (8.51) по-прежнему справедливо, можно вновь воспользоваться утверждением о том, что если собственно-энергетические части корректно учтены, то проводить перенормировку не требуется (Zi = Z2). Однако из-за изменения и фотонном пропагаторе величина 2 тоже меняется. Действительно,
6S(/j) = 2(p, Я) — S (р, kmln) =
