Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Подобный результат получается и для кулоновского рассеяния л~-мезонов. Из формулы (9.23), в которой f(~^* (у) описывает лг-мезон с импульсом р- до рассеяния и ф (у) « /<7* (у) от-
вечает конечному лг, испускаемому после рассеяния (как показано на рис. 9.4), мы находим ч
ie (р_+р'_) (q) \~-P-
S , =+ \ V ...........(9.27) ^
(2я)3 ^2(0 _ • 2ю1
\
где q = р'_ — р_ по-прежнему обозна-
чает переданный импульс. Формулы /
(9.24) и (9.27) отличаются только зна- 7 ком, что связано с разными знаками за- /-р_ ряда, л+ и лг, и приводят к одинаковому / сечению (9.26). /
Урок, извлеченный нами из проведен- Рис_ д4_ Кулоновское ного вычисления, состоит в том, что л-ме- рассеяние я--мезона.
зонной вершине ставится в соответствие
фактор е(рц + р') вместо для электрона. Волновая функция нормируется множителем 1/д/2ш, который заменяет
Vт/Е для электрона, и, разумеется, спиноры в данном случае отсутствуют.
Правила для члена e2AtlA>1 во взаимодействии V (9.19) мы получим из рассмотрения комптоновского рассеяния заряженного мезона. «Внешний потенциал» в данном случае складывается из поглощенных и испущенных фотонов, описываемых с использованием «нормировки в непрерывном спектре» в виде суммы двух членов (см. (7.53)):
11 д/2/(2я)3 V2/ (2я)3
где / и % отвечают импульсу и поляризации.
194 УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА — ГОРДОНА [ГЛ. 9
Поскольку комптоновская амплитуда в низшем порядке пропорциональна е2, члены в V, линейные по е, необходимо проите-рировать один раз. Тогда 5-матрица, имеющая порядок е2 и отвечающая диаграммам на рис. 9.5, будет равна
Sfl = (- ie? J d*y d*z (у) i Л, (у) + Л, {у) JL\ X
X (y — z) i [-J- Av (г) + Л„ (z) f(+] (г) +
+ ie2 J d*y /<+>* (у) (у) # (у) ?p+) (у). (9.29)
Подставляя сюда Лр, из (9.28) и сохраняя только перекрестные члены между выражением
V(2я)3 2k ’
которое описывает поглощение фотона, характеризуемого (k,X), и выражением
V(2зх)3 2k' ’
которое отвечает испусканию фотона с (kX'), после интегрирования по пространственным координатам находим
Sfi =--------(~Ж .......(2я)4 б4 (р + k - р' - k') X
f (2зх)6 V2со' • 2со • 2k' • 2k К Г ^
X [е • (2р + k) ^ _|_ kyi _ т2 е'' (2р' + к') +
+ е • (2р' — k) (р _ ky _ т2 г' • (2р — k') — 2it • е']. (9.30)
Полезно убедиться в правильности (9.30) путем проверки
инвариантности этой амплитуды относительно калибровочного преобразования. Такой проверке мы уже подвергали в гл. 7 амплитуды для электронов. Легко установить, что Sfi обладает инвариантностью как по отношению к калибровочному преобразованию
е^е^ + Я/Л (9.31)
примененному к начальному фотону, так и по отношению к пре* образованию
+ (9-32)
над конечным фотоном.
ПРОЦЕССЫ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
195
В выражении (9.30) удобно выбрать калибровку е • р — е' • р — 0,
которая соответствует поперечной поляризации фотонов в лабораторной системе, т. е. в системе, где начальный мезон покоится и имеет 4-импульс р — (т, 0). Тогда в (9.30) оказывается отличным от нуля только вклад от члена так как e-k =
= e'-k' = 0. Далее, по хорошо знакомой нам схеме переходим
Рис. 9.5. Комптоновское рассеяние я-мезона.
от амплитуды к дифференциальному сечению. Для этого возводим (9.30) в квадрат, устраняем одну степень (2я)464(/?-)-& —
— р' — k'), умножаем на фазовый объем конечных частиц
d3p' d3k'
и на (2я)3— величину, обратную начальному потоку в лабораторной системе, а также на (2я)3—величину, обратную плотности частиц в мишени. В итоге имеем
/ da \ ___ а2 (е • е')2
V rfQ /lab m2 [1 + (kjm) (1 — cos 0)]2 *
Отсюда в пределе малой энергии фотона k —> 0 получаем классический томсоновский предел. Суммируя по поляризациям конечного фотона е' и усредняя для неполяризованного света по начальным поляризациям, получаем
( da \ _________а2 (1 + cos2 9)___
V dQ )1аЪ — 2от2 [1 + (k/m) (1 - cos 0)]2 '
§ 46. Процессы высшего порядка
Мы можем продолжить аналогию с методом функции распространения для электрона и вывести из разобранных примеров правила вычисления диаграмм высшего порядка. Основные отличия от правил для электрона состоят в следующем:
1. В вершине рассеяния мезона из состояния рц в состояние р' (см. рис. 9.6) с любым направлением линий вперед и назад во времени следует произвести замену
— /еу11 -> — ie (р1 + pv-'). (9,34)
