Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД
199
(9.38) является единственным изменением при переходе от диаграмм рассеяния (рис. 9.8) к диаграммам аннигиляции (рис. 9.9). Формула (9.38) есть пример правила подстановки (кросс-симметрии), с которым мы уже встречались для электронов (см., например, (7.85)). Теперь мы распространили его на амплитуды для бозонов.
Это правило приводит к положительному относительному знаку всех трех амплитуд, изображенных на рис. 9.10. Ниже вершины у диаграммы 9.10, а и 9.10, в одинаковы, поэтому их относительный знак положителен. Поскольку за счет введения на диаграмме 9.10, а дополнительного по сравнению с диаграммой 9.10, в взаимодействия между линиями и и и не возникает знака минус, мы приходим к выводу, что замкнутая петля на диаграмме 9.10,6 не приводит к появлению множителя (—1).
Электромагнитное взаимодействие бозонов со спином 0, например я- и К-мезонов, в более высоких порядках, а также перенормировки можно рассмотреть в полной аналогии с предыдущей главой. Однако мы не будем вдаваться в детальное рассмотрение этих явлений, так как для сравнения с экспериментальными данными необходимо учесть значительно более сильное взаимодействие я- и /(-мезонов друг с другом и с ядрами. Обсуждению этого неэлектромагнитного взаимодействия посвящена следующая глава.
§ 47. Нерелятивистский предельный переход
в уравнении Клейна — Гордона
Существуют физические явления, для изучения которых весьма желательно иметь приближенное описание я-мезонов в рамках обычной одночастичной квантовой механики с вероятностной интерпретацией. Такой подход можно применять, например, к взаимодействию заряженных я-мезонов с атомными электрическими и магнитными полями в веществе,, а также к пионным атомам. Для анализа таких явлений мы попробуем сделать переход к нерелятивистскому уравнению Шредингера.
В самом начале гл. 1 мы отказались от уравнения второго порядка Клейна — Гордона вследствие невозможности построить точную одночастичную квантовую теорию с вероятностной интерпретацией. Мы отдали предпочтение уравнению Дирака, которое содержит первую производную по времени, как и нерелятивистское уравнение Шредингера. Однако затем мы убедились в Том, что одночастичная картина для уравнения Дирака справедлива лишь для очень ограниченного круга явлений, таких, например, как слабые медленно меняющиеся поля, когда имеется широкая щель ~2тс2 между спектрами положительной и отрицательной энергии. Именно такую физическую ситуацию мы
200
УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА — ГОРДОНА
[Г\1 S
сейчас рассмотрим, когда будем строить приближенную одночастичную теорию на основании уравнения Клейна — Гордона.
В качестве первого шага приведения уравнения Клейна — Гордона к форме уравнения Шредингера, т. е. к виду, содержащему только первые производные по времени, перейдем от (9.1) к паре уравнений первого порядка [91].
Введем определение
(9-39)
и перепишем (9.1) в виде
(9-40)
Удобно ввести две линейные комбинации:
0==т((р + -^(р)> х^тОр-тг*)’ (9-41)
которые имеют простые нерелятивистские пределы. Для свободной частицы с положительной энергией покоя имеем
ф ~ g-imt __ J_. ф (9.42)
и в этом пределе
Q = (p ~ e~lmi, х = 0. (9.43)
Для частицы с отрицательной энергией, или античастицы, решение в том же пределе имеет вид
0 = 0 и х == Ф ~ e+imt. (9.44)
Таким образом, 0 играет роль, аналогичную большим компонентам, а х — малым компонентам дираковского спинора. В терминах 0 и % уравнение Клейна — Гордона записывается так:
*1Г^~?<0 + *> + «е,
<Эу у2 (9.45)
1 = + Ж(0 + Х)-«ЗС.
Введем более компактное двухкомпонентное обозначение
в
Тогда получим уравнение
. дФ
®=(J. (9.46)
= Н0Ф, (9.47)
dt
где гамильтониан свободной частицы имеет вид
1 \\ V2 , /1 о
_!)ж+(; -1)т- (9-48)
НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД
201
Хотя уравнение (9.47) имеет шредннгеровскую форму, оно, как и уравнение (9.1), не приводит к положительно-определенной сохраняющейся вероятности, так как Н0 не является эрмитовым
оператором. Неэрмитова матрица (_] _] ) в члене, отвечающем кинетической энергии, связывает вместе «большие» и «малые» компоненты.
Пренебрегая V2 в низшем порядке для медленно движущейся частицы, мы приходим к уравнению Шредингера и к решениям (9.43) и (9.44) для положительной и отрицательной частот соответственно. Заимствуя из гл. 4 технику Фолди — Ваутхайзена для теории Дирака, мы можем последовательно включить поправки, возникающие за счет члена, отвечающего
