Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
(?, т2) -* (q) =
= UAq, nt!) + 'LCi(M2i)I^(q, M^^cJ^q, nif), (8.11)
где М\ — большие массы, а постоянные С* выбраны так, чтобы интегралы сходились. Такой способ обрезания не является единственным и выбран лишь для математической определенности. Если какие-либо физические наблюдаемые величины окажутся зависящими от параметров обрезания, теорию придется признать несостоятельной. Во всяком случае, существование расходящихся выражений наводит на подозрения о существовании при больших импульсах (или, что то же самое, на малых расстояниях) трудностей в теории.
Обратим внимание на следующее важное преимущество метода обрезания (8.11): он обеспечивает выполнение условия калибровки (8.9). Если бы мы произвели обрезание в каждом отдельном пропагаторе, условие калибровочной инвариантности не было бы соблюдено.
Вычисление величины I^iq), удовлетворяющей условию (8.9), проще всего производится путем представления знаменателя пропагатора в экспоненциальной форме с помощью тождества
оо
----L— = 1 ^ + т) ^(k + m)[ dzel^k2-m,+^. (8.12)
k-m+iz & - m2 + ie J ’
Это дает
ОО ОО
Iv* (?) = - 4 (- ie)2 5 dzx 5 dz2 5 -0 x
0 О
X [?ц (k — q)v + kv (k — q)^ — (k2 — k ¦ q — m2)] X
X exp {iz\ [k2 — m2 + ze] + iz2 [(k — q)2 — tn2 + z'e]}, (8.13)
где было произведено взятие следа и изменен порядок интегрирования. Дополняя показатель экспоненты до полного квадрата
') См. [54, 68]. Альтернативный метод преобразования расходящихся интегралов, который впервые привел к калибровочно-инвариантному результату. Развит в работе [69].
158
ПОПРАВКИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ К МАТРИЦЕ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. 8
путем замены переменной интегрирования согласно
l=k---------Q-~- = k-q+ , (8.14)
г, + z2 4 г, + 22 4 ’
производим интегрирование по импульсу с помощью равенства1) [ d4/ Г] / //1 ег/« =___________________J-----[l 0 ———1 (8 15)
J (2я)4 1 ’ (1’ “ 16я2/(г, + 22)4 ’ ’2(г,+ 22)J’
В результате получаем
V = — г X! Сг IT S S (2l + z2)2 Х
I О о
х {ехр[' (У “ И -ie) + **))]} х
X { 2 — V7v) (2l + г2)2 + Stiv[{Zi +22) — (if+^Й +mi] } •
(8.16)
Член, пропорциональный (g^q2— q^v), автоматически удовлетворяет условию калибровки (8.9), в то время как последние
три члена, пропорциональные этому условию не удовлетво-
ряют. Однако можно показать, что они уничтожаются, т. е.
оо оо
И^г, dz2 у Г 2___________[______________Q2ZiZ2 1 у
(Zl + z2)2 Zj i I > (Zi+ z2) (Zi + z2)2 J A
0 0 i
x {exp ‘ b2 ~ И ~ie) }=
оо CO
_ f f dztdz2 у Г „ _ . I_______q2z,z2 1
— J J (2, + z2y L Ci Г*‘ Я (г, + Zo) (г, + z2)2 J A
0 0 i
X { exp il [q2 {Z*+Z2) - (m? - «) (г, + z2)] } =
OO 00
= a Ж SS Я(гГ+Ь» I exp {a [(Й%) - К “ г'е) (г> + г2)] } •
О О i
(8.17)
*) Это равенство проще всего выводится в прямоугольной системе коор-
динат. Если повернуть контур интегрирования на 45°, каждый из интегралов превращается в гауссовский, например,
ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА
159
Здесь по ходу выкладок мы сделали замену 2;-+Яг*. Полагая далее в подынтегральном выражении *zit убеждаемся, что интеграл не зависит от следовательно, (8.17) есть тождественный нуль.
Оставшийся вклад в /^v вычисляется с помощью того же самого приема, состоящего во введении масштабного множителя. Воспользуемся тождеством
оо
1 = J _-?L+?2.). (8.18)
О
Тогда
ОО ОО ОО
Т / \ 2га / 2\ С С f dX dzi dz2 zxz2 4 ,
/,v (<?) = -Mv-M2)) ) ) Я(;,+г2)* X
000
i
CO CO oo
= ^ (Qrfv — g^q2) \ 5 S dZl 2,226 (1 — Zi — Za) X
ООО
X Yj ciexp liK i^ziz2 “ + ie)]. (8-19)
i
где мы опять сделали замену zt -> Xzt.
К сожалению, интеграл по К логарифмически расходится, и мы вычислим его с помощью процедуры обрезания. Выбирая в
(8.11) Ci = — 1, Ci = 0 (? > 1), находим
= V (tn2) — /цу (М2) «
1
» (<7n<7v - ?nv<72) J dz z (1 — z) In -г- ^(-f _ г) =
0
“ ? (^v - g»vq2) [in-g- 6jdzz(l-z)ln (l--^jZ(l—z))j.
