Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Подставляя (7.34) в (7.32) и используя (7.30), мы без труда вычисляем интегралы и получаем для элемента S-матрицы
S„ _ =?- <2я)< 4< (Р, - р, + Р, - Р,1 V-SP7 л/^Г X
X [« (Pf, Sf) у(Pi, s,)] ^ __ Д2 + /е [й {Pf, Sf) у»и [Pi, St)]. (7.35)
Симметрия полученного результата по переменным электрона и протона подтверждает правильность выбора тока в форме (7.33). Если бы мы в качестве исходного пункта наших вычислений взяли выражение (7.1) для амплитуды рассеяния протона в поле, создаваемом током электрона, и выбрали (7.33) в качестве тока электрона, то мы должны были бы прийти к тому же самому результату.
Сравнение с выражением (7.5) показывает, что различие между рассеянием электрона в кулоновском поле и на протоне сводится к замене выражения Zy°l\q\2 на
^ {е ) -jS^y^uiPi, St)
РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНА НА ДИРАКОВСКОМ ПРОТОНЕ
115
и V — на (2л)3 63 (Pf — Р; -f- — рг), что выражает сохранение
импульса.
Формула (7.35) дает амплитуду электрон-протонного рассеяния в наинизшем порядке по а; она не учитывает эффектов более высокого порядка, которые приводят к искажению плоских волн в выражении для тока. Выражению (7.35) удобно сопоставить фейн-мановскую диаграмму, изображенную на рис. 7.3.
Одинарная сплошная линия со стрелкой, указывающей направление времени, отвечает электрону, а двойная — протону. Волнистая линия описывает электромагнитное взаимодействие, которому в матричном элементе отвечает величина, обратная квадрату переданного импульса или обратная оператору Даламбера (см.
(7.27)) в импульсном представлении.
Мы будем говорить, что эта линия описывает «виртуальный фотон», посредством которого электрон и протон обмениваются 4-импуль-сом q = pf — pi = Pi — Pf. Амплитуда распространения виртуального фотона между двумя токами есть— (q2 -)- ie)-1. Точкам или вершинам, из которых исходит и в которые входит фотон, сопоставляется фактор е-у1*» который стоит в обкладках из спиноров '\Jm!Eu(p, s), отвечающих свободным реальным начальным и конечным частицам. Каждой линии и каждому пересечению линий на диаграмме отвечает свой единственный член в выражении для S-матрицы. Кроме того, S-матрица всегда содержит четырехмерную б-функцию, выражающую общий для всего процесса закон сохранения энергии-импульса.
Для вычисления сечения вернемся к рис. 7.3 и формуле (7.35) и прежде всего путем деления | S/z-12 на время наблюдения Т и пространственный объем области взаимодействия найдем скорость перехода, отнесенную к единичному объему. Получаем
Рис. 7.3. Рассеяние электрона на протоне.
Wft =
sn Г
TV
= (2я)46 *(Pf + pf-Pi-pl).
1
м2
V4 EfEi
Щ112,
(7.36)
где величина
q2 + in
[u{Pf, Sf)ru(Ph S,)]
представляет собой лоренц-инвариантный матричный элемент и будет в дальнейшем именоваться инвариантной амплитудой.
116 ОПИСАНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ [ГЛ. 7
Переходя от (7.35) к (7.36), мы представили квадрат 6-функции в виде, аналогичном, но несколько более общем, чем (7.8), а именно
[(2я)< 6< {Pf + Pf- Pt - Pi)f = {2лУ 6< (0) (2яУ X
X 64 (Pf + Pf- Pi - Рд + VT (2 n:)4 (Pf + Pf- Pi - Pi). (7.37)
Далее разделим скорость перехода, отнесенную к единичному объему, на поток падающих частиц |/шс| и на плотность частиц мишени, которая согласно использованной в (7.2) нормировке равна 1/V.
Наконец, чтобы получить физическое сечение, необходимо просуммировать по заданному набору конечных состояний электрона и протона, отвечающему условиям наблюдения. Число конечных состояний с заданным спином, приходящееся на интервал импульсов d3P)d3Pf, есть
d3p, d3Pf
<7-38»
Таким образом, сечение перехода в конечное состояние, лежащее в интервале т, равно
Г „ d3Pf d3Pf V
*=)l"i5FWW*« =
X
ч
d3Pf d3Pf mM mM VnVVjPf + pf-Pt-pt)
(2л)3 (2я)3 EfSf EiSi | /inc I V
T
Можно еще просуммировать это выражение по спиновым состояниям конечных частиц и усреднить по начальным спинам для случая, когда поляризация отсутствует.
Теперь мы можем отметить некоторые общие для всех процессов рассеяния черты. Физика явления заключена в квадрате инвариантной амплитуды |SK/i|2. Каждой из внешних фермион-ных линий, т. е. каждой падающей или испускаемой дираковской частице, отвечает фактор т/Е. Фазовый объем каждой из
конечных частиц дается фактором d3pf/(2n)3. Таким образом, мы видим, что за счет каждой из конечных частиц появляется выражение (т/Е) [d3p/(2л)3]. Оно представляет собой лоренц-инварнантный объем в импульсном пространстве, в чем нетрудно убедиться из следующего равенства:
2 Е
dpQb (р^р» — т2) d3p = ^ d*p б (р^р* — т2) 0 (р0), (7.40)
Ро> 0,
Ра < 0.
