Лекции по теории переноса лучистой энергии - Адзерихо К.С.
Скачать (прямая ссылка):
Г (т, т') = Ф (т'— т) -f j Ф (т — t) Ф (т'— t) dt при т'> т
Г (т, т') = Ф(|т— т'|)4- f Ф (т — 0Ф(т'—t)di, (3.70)
где т*—наименьшая из величин т и т'.
Из сказанного следует, что введенная в рассмотрение функция Ф (т) = Г (т, 0) = Г (0, т) играет основополагающую роль при решении уравнения переноса, аналогичную роли функций Амбарцумяна. И действительно, между ними существует связь — функция Амбарцумяна является с точ-
Ф(т)-Г(т, 0) = Г (0, т).
(3.66)
дГ
дт
dt + Ф (т') К (т).
о
(3.67)
ф (т) = j К (|т - ф Ф (0 dt +К (т). (3.68)
о
(3.69)
Решением последнего уравнения является
T
о
или в общем случае
о
37
ностью до постоянного коэффициента отображением функции Ф (т) при интегральном преобразовании Лапласа. Чтобы это показать, обратимся к частному случаю уравнения (3.59):
OO
є (т, к) = j К (Jt- т'|) є (t', k) dx’ + е"**. (3.71)
0
По (3.64) находим:
OO
е(т, k)= f Г(т', х) e~kx'dx'-{- e~kx. (3.72)
о
Умножим (3.47) на erkv и проинтегрируем по т' с учетом (3.72):
14- j* Ф CO e~w dx'
О
5т
Ho так как
OO
є (0, к) = I + j Ф (т) erkx dx, (3.73)
о
то уравнение для є (т, k) можно переписать в виде
д—’ = —е (т, к)+ в (0, к) Ф (т)
дт
или
T
в (т, к) - є (0, к) [е-*т +J е-*<т-т'>Ф (r') dx'] . (3.74)
Учитывая, что во всех задачах теории переноса излучения ядро интегрального уравнения имеет обычно вид
ъ
К (т) = A(y)e~xydy,
а
нетрудно найти связь между соотношениями (3.73) и (3.74) с аналогичными расчетами для функции Амбарцумяна, изложенными в § 2 этой главы.
Глава
0>
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ, ОСНОВАННЫЕ НА УСРЕДНЕНИИ УГЛОВОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ И ЕГО ПРИБЛИЖЕННОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ
§ 1. Метод Шварцшильда— Шустера
Рассмотрим простейший метод решения уравнения переноса излучения — метод Шварцшильда — Шустера. Сущность метода состоит в том, что вместо искомой величины /(т, |а) определяются усредненные по полусферам интенсивности:
7I (т) = f 7(т, Ц) d\i и /2(т) = С/ (т, |х)ф. (4.1)
О - -I
N >
Интегрируя, например, уравнение переноса излучения для проблемы Милна по полусферам и вынося за интеграл среднее значение ц = cos 0 (предположение Шустера), находим:
W +
о
+ Y I7I (Т) 72 (т)],
d С I dl2 (т) / / \ ,
— / (т, w IUilX — — . —Ili- = —/а (т) +
dr J 2 dx
— I
+ ~ I7I (Т) + 72 (Т)1-
Приходим к очень простой системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений:
-^- = -71 + 72,--------------^l-=-7* + 7! (4.2)
dx dx
I 39
с граничным условием г"~ \
(МО^О/ ] (4.3)
и условием постоянства потока. Последнее условие автоматически получается из (4.2), если принять по (1.9а) за поток излучения выражение
H = я (Z1 — Z2) = -лР < (4.4)
(поток излучения направлен в сторону, противоположную оси X). Действительно, складывая уравнения (4.2), получаем
d{h~h) _ л dx
т. е. Z1— /2=const. Отсюда следует, что поток излучения H является интегралом системы (4.2). Это свойство потока излучения, как будет показано в § 2 данной главы, носит общий характер.
Разность уравнений (4.2) дает
— (I1+ I2) = 2 (I2-I1).=--2P dx
или
I1 + I г = 2т P + С. (4-5)
Из (4.4) и (4.5) находим I1 (т):
Z1(T)- A (2т-I)P+ у •
Условие (4.3) дает для С следующее значение: С Р. Таким образом, решением системы (4.2) является:
Z1 (т) =хР и I2 (т) = (т + I) Р. (4.6)
Так как усредненная интенсивность излучения связана с плотностью излучения (1.4):
і
Z (т, ц) ф = — (Z1 -г I2)
с
— I
(с.-г-1 скорость света) и, с другой стороны, по закону Стефана— Больцмана (1.21), р — оТ4, можно установить вйж-
9Э
ное соотношение между температурой и оптической глубиной рассматриваемой среды:
оГ4 = — P (1 + 2т)
с
или
7* = 7*(1 + 2t). (4.7)
Здесь
То = — (4.8)
са
имеет простейший физический смысл: T0 — значение
температуры, соответствующее граничной поверхности т = 0.
Соотношение (4.7) сыграло значительную роль в
астрофизических исследованиях, ибо позволяет по из-
вестным значениям T0 и т определять температуру небесных тел и их центральных частей или, наоборот, по рассчитанным другими методами значениям T и T0 определять оптические характеристики небесных тел и атмосферы.
Найденную функцию источников
і
є (т) = J / (т, (х) dn = [I1 (т) + Ii (т)] = P + — j
(4.9)
можио использовать для получения приближенного углового распределения интенсивности выходящего излучения:
• *
QO т»
I (0, р,)|„<0 = - j* Є (тГ) ^ = P (Vi H- ~j • (4.10)
о
Более общее решение уравнения переноса излучения в светорассеивающей среде с равнораспределенными источниками в приближении Шварцшильда — Шустера найдено и проанализировано в § 5, гл. 4. Сравнение функции источников (4.9), а также углового распределения интенсивности выходящего излучения (4.10) с точным решением уравнения переноса приведено в табл. 2. Из таблицы видно, что погрешность решения проблемы Милна
91
{§ Таблица 2
Сравнение результатов решений уравнения переноса приближенными методами с точным решением
