Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
d?>(2n[s{?+s])=b + ott.nAVT), s-0, ±1.....±т,
где являются независимыми переменными с распределением #f(0\ 2nTfee(X)). Пусть Xs = 2n[s(T)+s]/T. Мы__можем совершить замену d{P (К) = А (X) dp (\) + ?, + <>„. „. (VТ). Для суммы квадратов имеем тождество
(2ЯГ)-121 diT) (Xs) I2 = (2ЯГ)"1 (X) 2 dJP (X1) <&Г) (Xs)x А(Т) (Xy
S S
+ (2nT)-» 21 <*Vn (К) - А(Г) (Я) dtf» (Я,,) I2.
S
Появившиеся члены являются квадратичными формами от ?5 степеней 2m+ 1, г, 2m + 1 — г соответственно плюс стремящийся к нулю с вероятностью 1 член. Из упр. 4.8.7 следует, что первый член в правой части можно записать как /ее (X) (A (X) \хх (X) X A (X)xlfee (X))J2 + ont Ht (1), в то время как второй член может быть записан в виде %г(Х) %1(2т+і-п/2 + оп, п, (1), где величины X2 независимы. Выражение (6.4.12) получается теперь простыми выкладками.
Доказательство теоремы 6.5.1. Пусть /?(0 = 2а(^ — и) X (и).
и
Далее, поскольку Ее (t) = 0, имеем
ЕА(Г) (A,)=«tf& (X)iPx(X)-1.
Пусть d(P (P) = A (P) (P) +е{Т) (P). По лемме 6.3.1 величина е{Т) (P) равномерно ограничена. Поэтому подстановкой получим
S = 1
? А (2-г) ("г) +G-,
где, согласно лемме Д6.1, для некоторого конечного К
X
Здесь мы воспользовались ограниченностью е(Г) (P) и неотрицательностью IF(P). Первое выражение в (6.5.14) следует теперь из условия 6.5.2. Обратимся ко второму выражению и предположим, что 0^Я<2л. Областью, в которой функция Wm не равна нулю, является область | X—(2ns/T) \^Втп. В этой области A (2ns/T) = А (К) +0 (Вт), поскольку по принятым допущениям A (P) имеет равномерно ограниченную первую производную. Доказательство теоремы завершает теперь подстановка этого последнего соотношения в выражение (6.5.14).
Доказательство теоремы 6.5.2. Заметим следует из (6.6.3),
сначала, что, как
E 11 А)Т) (X) I -1 ЕЛ)П (X) 11 < E I А)Т) (X) - ЕЛ<-Г) (X) \
<{0Л}Г) (Ji)}1/2 = 0(Вти"Т'
1/2),
поэтому справедливо соотношение
I EGp (Ji) -| ЕА{Р (X)W = O OBr172F-1/2),
приводящее к первому выражению (6.5.19). Второе выражение следует из (6.5.14) и того факта, что |а + е| = |а| + 0(е).
Для доказательства первых соотношений в (6.5.20) и (6.5.21) воспользуемся разложениями в ряд Тейлора
log |ї + є I = lOg j і I + 1 {ьЦ + Щ —J- {є2/?2 + 82/С"2} + . . . ,
arg 11 + є I = arg I + ± [гЦ - гЦ\- -L {г*/? - ё2/?2}+...,
приняв ? + г = А)Т) (X), ? = ЕЛ}Г)(А,), и применим (6.6.3). Чтобы доказать справедливость вторых выражений, также воспользуемся этими разложениями, однако на этот раз положим ? 4-є = ЕЛ)Г) (X)1 ^=Aj(X) и применим (6.5.14).
Прежде чем перейти к оставшимся доказательствам этого параграфа, необходимо ввести некоторые обозначения и доказать
несколько лемм. Мы положим
Г-1
diT) (X)= 2 е(0 ехр {— Ш|,
/ = 0
T- 1
Дге> (?) = 2ЯТ-1 ? Г"-» -—J (2яТ)~1
S=I
ІЙ (X) = 2яТ-* 2 (*-??) (2яТ)- ЛР (Щ ,
Sc=I
^W = ZSw-A(I) IJg(A,).
Поскольку ряд е(?), ? = 0, ±1, ненаблюдаем, эти величины также ненаблюдаемы. Мы увидим, однако, что интересующие нас статистики являются элементарными функциями этих величин. Далее, k-и элемент d(x} (X) мы обозначим [dp (X)]k и подобным же образом будем обозначать элементы ixl (X). Справедлива
Лемма Д6.4. Если функция ixx (X) равномерно ограничена, то выполнено соотношение
с равномерным по X остаточным членом.
Доказательство. Этот результат следует из неравенств
2яТ-?Г<" (я-^-) [dST (^)]4
г
< 12я T- ? (Я - ^) j [diP (^) ] J j1 " <(2яТ)^ ||fS(X)|1/2.
Лемма Д6.5. ?сл« fxi (Я) равномерно ограничена, то справедливо соотношение
2 г- г- (и-^) К> (^)]4 [^(^)],
Г= 1
= О (Bf1T2).
с равномерным по X и ц. остаточным членом.
ф (7)
Доказательство. В силу неравенства Шварца абсолютная величина указанного выражения не превосходит
1/2
что дает желаемый результат.
Лемма Д6.6. При условиях теоремы 6.5.1
cum {$> (X1).....g® (X1), [f&> (V1)I1, ..., [f&> (рм)]тм, gg (V1),
( 0(T-N+1BTN+1), если L + M = 0,
0(T^~nBtn+1), если L = O, M = I,
0(7<i/»>-"B?Ar+,)t если L = I, M=O, ( 0(7¦-W)-W")-^-1), если L + M>1.
Доказательство. Заметим сначала, что, пользуясь леммой 6.3.1, можно получить соотношение
(X)= 2я7- E (Х-^) (2яГГ [A (^) <tf>
<7=1
+ 0(I)-A(X) d^> (^)] Є' (-^)
Поскольку для |Х— (2я^/Т)КВгл справедливо а(-^) = А(Х) + 0(Бг),
имеем
t- 1
2$(Х) = 2яг-* ? W- (я-^г)(2яТ)-
х[0(Бг)^>(^)+0(1)]4г>|
Рассматриваемый семиинвариант дается выражением
Ч гм
[о(^r)«іУ»(^)+0(1)] x[o(Br)d5P(^t)+o(i)] [d5P(^)]ei
Х(2лГ)-^-^сиш{4Г,(^).....4Г>(^), |4r,(^)f,
.... 4"(^)f}.
Главный член возникшего в последнем выражении семиинварианта имеет вид
(2я)*+р.-1Д<" {^1+ ... + rM + tx + ... + tPt})
/2ляі 2я/Л \ /2я \
X/е...е(-^.....-^-j (2я)р.-р—Д<" (-jr Up1+1 + ... + U)
X /,., (-^- , ..., -^i-) • • • (2я)Р,-Р,-і-іД«п
/2я \ /2я/р ^ 2д/р \
х ^T" ^ря-і + 1 у-""г-» • • •» ""У/ »
где pp = 2N и Z1, /2Лг есть подстановка (S1, —S1; sy, — sN), соответствующая некоторому неразложимому разбиению. Мы имеем р ^ п. Устранив с помощью лемм Д6.4 и Д6.5 суммирование по q и г, увидим, что главный член в А имеет вид
