Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
cov {dp (X) dp (-X)9 dp fa) dp (-її)}
= (2ri)*Tfmx(X9 -К V)+ 0(1)
+ [МЛ (X) fx + 0 (l)J [(2K)WT) fxxx {_K ^) + 0
+ три подобных члена
+ [A'7' (Kfx + 0(1)] [A^fti)/* +0(I)J .
Х[2яА"->(-Я-|і)/„(-Я,) + 0(1)1
+ три подобных члена
+ [2яД(г> (Я+|і)/„(Я)+0(1)][2яД(^(-Я-|і)/„(-Я)+0(1)] + [2яДт (1-М /„ (X) + 0 (I)J [2яД(^) + /„ (-X) + 0 (1)],
дающее нужный результат.
Теперь сформулируем результат, который потребуется в следующем доказательстве, а затем и в других.
Теорема Д5.1. Пусть последовательность r-мерных векторных случайных величин ХТ, T=I, 2, сходится по распределению к случайной величине X. Пусть g: Rr—+Rs является s-мерной векторной измеримой функцией, множество разрывов которой имеет меру X относительно 0. Тогда последовательность s-мер-ных векторных величин g(X(7)), T=I, 2, сходится по распределению к случайной величине g(X).
Доказательство. См. Mann, WaId (1943а) и теорему 5.1 у Billingsley (1968).
Нам потребуется также и связанная с этой
Теорема Д5.2. Пусть последовательность r-мерных векторных случайных величин У T (Yt — I11)» T = I, 2, сходится по распределению к Nr(0, S). Пусть g: Rr—+Rs есть s-мерная векторная функция, дифференцируемая в окрестности jm и имеющая sxr-матрицу Якоби J в р,. Тогда последовательность У T (g(YT)— — g(fi)) сходится по распределению к Ns(0, JSJT) при Т—>оо.
Доказательство. См. Mann, WaId (1943а, Ь) и Rao (1965, стр. 321).
Следствие Д5.2 (действительнозначный случай). Пусть УT (Yt—р)> T = 1, 2, ..., сходится по распределению к N (0, а2). Пусть g: R—>R в окрестности р имеет производную g'. Тогда при T —> оо
У T (g (YT)-g fa))-+ N (О, WWo2).
Доказательство теоремы 5.2.6. Теорема 4.4.1 показывает, что
Red* * (Xj (T)), Im d{p (Xj (T)) суть асимптотически независимые переменные с распределением N(O, nTfxx(Xj)). Из теоремы Д5.1 следует, что
ITx (Xj (T)) = (2яТ)-і {[Red{P (Xj (T))]2+ [Im d{P (Xj (T))]2}
имеет асимптотическое распределение fxx (XJ) %Ц2. Асимптотическая независимость для различных значений / выводится таким же способом из асимптотической независимости df} (Xj (T)), / = 1, J.
Доказательство теоремы 5.27. Эта теорема вытекает из теоремы 4.4.2, подобно тому, как теорема 5.2.6 вытекает из теоремы 4.4.1.
Доказательство теоремы 5.2.8. Из теоремы 4.3.2 следует, что
cov {dp (X) dP (-X)9 dP (р) dP (-P)}
= [2я//</> (X + р) /„ (X)+ 0(1)] \2пН^(-Х-р) /„ (X) + 0(1)] + \2пЩТ> (X-ii) fxx (X) + 0(1)] [2пН?> (-X-ii) /„ (?) + 0(1)] + (2JiW(O)/„„(Xi —X9 р)+0(1).
Доказательство теоремы 5.3.1. Эта теорема является непосредственным следствием упр. 4.8.23.
Доказательство теоремы 5.3.2 вытекает непосредственно из теоремы 4.5.1 и определения 1хх(Х).
Доказательство теоремы 5.4.1. 3ta теорема прямо следует из соотношения (5.2.6) теоремы 5.2.1 и определений АТт (X)9 ВТт (X)9 СТт(Х). Следствие вытекает из теоремы 5.2.2.
Доказательство теоремы 5.4.2 следует из теоремы 5.2.4.
Доказательство теоремы 5.4.3 следует из теоремы 5.2.6.
Доказательство теоремы 5.5.1. Эта теорема следует из соотношения (5.2.6), теоремы 5.2.1 и определений A7(X)9 B7(X), C7(X). Следствие вытекает из теоремы 5.2.2.
Доказательство теоремы 5.2.2 следует из теоремы 5.2.4.
Доказательство теоремы 5.5.3 следует из теоремы 5.2.6 и теоремы Д5.1.
Нам потребуется при доказательстве нескольких теорем следующая лемма.
Лемма Д5.1. Если на отрезке [0, 1] функция g(x) имеет ограниченную полную вариацию V9 то
Доказательство. См. Polya, Szego (1925, стр. 37); соответствующая ссылка имеется у Cargo (1966). Если функция g дифференцируема, то правая часть может быть заменена на Hg' (х) \ dx/n.
Дополнительные результаты содержатся в упр. 1.7.14 и 5.13.28.
Нужный результат вытекает из соотношения
тТ) (0) = ? h 2~Г J h (a)2 da.
п
Доказательство теоремы 5.6.L Первое выражение в (5.6.7) следует непосредственно из соотношения (5.2.8) и определения (5.6.1).
Если мы воспользуемся приведенной выше леммой, чтобы приблизить возникшую сумму интегралом, то увидим, что
Е/Ш*)= S (1-а) fxx (a) da +О (Bf1T'1) о
OO
= 5 Bf1W (Bf^k-a]) fxx(a) da+O (Bf1T-1).
— OO
Это даст последнее выражение в (5.6.7).
Доказательство теоремы 5.6.2. Пользуясь теоремой 5.2.5, получим для нужной ковариации выражение
(тг)' S L WIT) (ь-т2)W(T) (^—T1)
х [„ (S+г)} + ч{ *L(S-/)}] /„(^)ЧО (7-),
которое приводит к первому соотношению. Мы получим из него второе соотношение, заменив сумму интегралом и применив лемму Д5.1.
Доказательство теоремы 5.6.3. См. доказательство теоремы 7.4.4.
Доказательство следствия 5.6.3 вытекает из теоремы 5.6.3 и следствия Д5.2,
Доказательство теоремы 5.6.4. См. доказательство теоремы .7.7.1.
Доказательство теоремы 5.8.1. Ввиду (5.8.7) и того, что \k{T)имеем
S *<Г) («) fxx (*-a)da = (2я)"12 (а) с„ (и) ехр {-M}
-я «
= (2Я)"1гс»<н>ехр{-''"M +0 (7,-р). Это в свою очередь равно
(2*Г S {і+*^+...+*р..^ + о(ЗД}
|и|< г 1 ''
X схх (и) ехр {-iul} + О (T-P),
