Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
P=O
с равномерными остаточными членами. Это дает первое выражение в (6.8.4); второе получается вычислениями.
Доказательство теоремы 6.8.2. Рассмотрим сначала (6.6.3) и заметим, что
cov {А(Г> (2пр/РТ)\ AiT) {2nqlPTy) = О (T-*)
для р Ф q, q^Pf1, поскольку BT^Pf\ так что в этом
случае
Теперь из (6.8.2) и (6.6.3) видим, что cov {а(Г) (и)\ а(Г) (v)T\
=Pf2 2 cov{А(Г)(2пр/Р7)\ AiT)(2nq/PTy\exp{i2n(pu-qv)/PT\
р, Q=O
=Рт2 2 Bf1T^2n\W(aYdaWiPx(2np/PT)fee(2np/PT)
P = O J
X ехр {і2пр (и — v)lPT) + О (Г-1),
и получаем (6.8.7).
Доказательство теоремы 6.8.3 проводится как доказательство теоремы 6.8.2, однако вместо (6.6.3) мы воспользуемся (6.6,14).
Доказательство теоремы 6.8.4. Докажем, что нормированные семиинварианты порядка выше второго переменных, указанных в теореме, стремятся к 0. Мы имеем
(РгВгГ)(^^сит{[а^>(и1)]/1,...,[а<>,)]/у,gg> (X1), .. .fg2>(X*)} =*(Р7В7)Т«+™> PfJ 2. . -2ехр {І2л (P1U1 + ... +руа,)/Рг}
Pi Pj
Хсит{[А<7'>(2яр1/Рг)]/1, [А<г> (2яру/Рг)]/у,
= (PTBTTyJ+Kv* p7w (T-W»)-^-1).
Здесь мы воспользовались леммой Д6.6, а также тем замечанием, что доказательство завершает устранение одного суммирования по р. Как видно, этот семиинвариант стремится к 0, поскольку P7B7 —* 0 при Г-+оо.
К главе 7
Доказательство теоремы 7.2.1. Поскольку
имеем
Е4Г> (X) = ce SЄ> ( +г) ехр {-Ш} = саН?> (0). Кроме того, справедливо представление Крамера
я
-л
Из этого следует, что
я
cov {dp (*), 4r>W}= S #<г>(Я-а)Я^(-Ь+а)-ЫаМа
-я
я
= S Hp(a)Hp(-a)fab(K-cc)da.
-Я
Наконец, по формуле Парсеваля имеем
я
2я1Х (f) Л6 (у) = J Я<г> (a) tff > (-а) da,
і -Я
откуда вытекает (7.2.7).
Доказательство следствия 7.2.1. Положим ha(u) = 0 для и < 0. (Общий случай доказывается с помощью записи функции ha в виде суммы функции, обращающейся в нуль при и < О, и функции, обращающейся в нуль при и^О.) Пользуясь преобразованием Абеля из упр. 1.7.13, мы получим
нр (Ь) = 5>«(т)ехР<-ло
Если вариацию функции ha (и) обозначить Va9 то
I Hp (Х)| < Va sup I Д*> (Х)| < Va {sin 6/2}-1 для 0 < б < IX |< я. (*)
В то же время
л
j Hp (a) Hp (-a) da = 2я ? К (±) hb (±)
-Я t
~2nT\ha{t)hb(t)dt. (**)
Из соотношений (*) и (**) видно, что сомножители в сасъ стремятся к 0 при Т—>oo, если X^0(mod2n) или если сл = 0 или сь=*0. Далее, рассмотрим
я
(S Я<г> (а) Я^> (-a) da} _1 \ Hp (a) Hp (-a) fet (X- a) da- fab(K)
-Я
я
= { 5 Hp (a) tff > (-a) da) "l J Я<г> (a) Hp (-а)
х[ЫЯ-а)-ЫЯ)^а. (***)
Разобьем область интегрирования на две: | а | < б и | а | ^ б. Так как функция fab непрерывна, величина \fab(X — а) — fab (Х)\ в первой области может быть сделана выбором б сколь угодно малой. Кроме того, здесь
$ I Н?>(а)| I Я^>(-а)|Жх<{ J | П«\а)\Ча\\ЩТ>(а)|Ма}1/2 = 0(Г).
|а|<6
Во второй области fab (X — a) — fab (X) ограничена и, как вытекает из (*),
J \Wp(a)\\H^(-a)\da = 0(l).
|a|>6
Поэтому из (**) следует, что (***) стремится к 0 при T —*оо. Доказательство теоремы 7.2.2. Из теоремы 4.3.2 следует,
что
cov {d^ (X) 4? (-*), 4? (fx) 4? (-[X)}
чя<:> w ч+о(1)] (-^) 4+0(1)]
х[2яЯ$,(—Х+[х)^(—Х) + 0(1)] + три подобных члена +[Н^\Х)са1 + 0(1)]\(2пуН^ -X9 [X)+0(1)]
+три подобных члена
+[2яЯІЙ, (Х-^ві (Х)+0(1)][2яЯ$2 (_Х + !л)/,А(_Х)+0(1)] +[2яЯ$2 (Х + [х)/^ДХ)+0(1)]^ +[(2я)3ЯааА(0)/аЛаА(^ -К ^) + 0(1)]. Это приводит к нужному результату, если учесть, что Н%\
Доказательство следствия 7.2.2. Мы легко получим его, рассмотрев по порядку случаи Х±\х = О (mod 2я) и Х±\і ф О (mod 2я).
Доказательство теоремы 7.2.3. В теореме 4.4.2 показано, что Ap(X1), dp (Xj) являются асимптотически независимыми величинами с распределением (О, 2яТ) [HаЬ (0) fab (X)]. Далее, из теоремы Д5.1 следует, что
[\2пТНаЬф))-Ы^ (я,КГ) (Щ
где / = 1, J, являются асимптотически независимыми величинами с распределением W^(I9 іхх(^/))- Заключение теоремы вытекает теперь из того, что
2я?/**(т)Чт)~2лГЯ^0)-
Доказательство теоремы 7.2.4 вытекает из теоремы 4.4.1 так же, как теорема 7.2.3 следовала из теоремы 4.4.2.
Доказательство теоремы 7.2.5. Оно получается непосредственно из упр. 4.8.23 и теоремы Д5.1.
Доказательство теоремы 7.3.1. Из упр. 7.10.21 следует соотношение
я
I / Отт.. \ 2
(*
-я
для целых г, r^O(modT). Если X^O(modn), то мы получим соотношение
т я
= (2m + l)-i JT (2kT)-^J IA«r'(^ + ^-s-a)|4f^(a)da,
s= -m -я
приводящее к (7.3.6). Если X = О (mod 2я) или Х=±я, ±3я, где T четное, то
Ef^ (X) = (2m)"1 X (2яГ)-і
S=I
X I { I Асг» (х + ^-а)Г +1 Ac^ (х-^-«)|В} f„ (а) Л».
-Я
что приводит к (7.3.7). Если же X= ±я, ±3я, а Г нечетное, то
т я
S- 1 —я
+1 Д<г> + f -|-s-a) |2 fxx (a) da,
и мы получим (7.3.8).
Доказательство следствия 7.3.1. В силу того что fхх (а) является равномерно ограниченной функцией а, выражение (*) из предыдущего доказательства стремится к fxx (X) при T —> оо, если 2я/*/Г X. Это дает нужный результат.
Доказательство теоремы 7.3.2. Если г, s суть такие целые числа, что 2я/*/Г, 2я5/Г ф О (mod 2я), то, как следует из упр.