Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
2яД<" (S±f±fl) /м, (- *f) + о (T)] 2лАФ(2^±?І)/аіб8(^і)+0(Г)] X [2лД<л(І?І^?І)/мг (-^L)+0(T)]
X
+
Г-1
~~ (~) ^ {А/ (~Т~) ^°1°2 (~Т~) ( т )
, / 2я \ з „ „ / 2яг \ - /2ns\ f (2пг 2яг _2jxs\
r S
+ 0(7/-*),
дающие (7.6.7).
Для семиинвариантов более высоких порядков мы, пренебрегая нижними индексами, получим следующее соотношение:
CXXm[JZl(Au), .... J^bL(AiL)}
= [ЦУ S • • • Z л (2jlSi/r> • • • *л (2я^/г) <2яГ)~х
X cum {<F> (2nsjT)dm (2nsjT); .... d<r> (2HS^T)(F» (—2я5л/Г)} = T~iL 2 • • • S A (2nsjT) ...A (2nsL/T)
X ? (2ji)«.-*A<" ^ ? ± /' (2я5у/Т; j € V1) + о (T)J
... р2я)*/-1Д<™0? ? ±S/y(2nsj/T; j € v,) +o (T) j,
где внутреннее суммирование производится по всем неразложимым разбиениям таблицы
d<r> (2nSi/T)d{T) (—2nSi/T)f
d(T) (2nsL/T)dm (—2nsL/T).
Принимая во внимание линейные ограничения, обусловленные функциями А(Л, понятно, что главный член этого семиинварианта имеет порядок T~L+1.
Далее, рассматривая переменные T1I2J^(Aj), J>
а, .6=1, г, можно видеть, что все их совместные семиинварианты порядка выше второго стремятся к 0. Отсюда по лемме Д4.5 следует указанная асимптотическая нормальность этих переменных.
Доказательство теоремы 7.6.2. Воспользуемся разложением в ряд Тейлора
RSt (К = Rab (К + [{f& (Ц-U (W-T faa \№ (K~faa (Щ
W-1 № (КЧьЬ (Щ] j [faa (К hb №1% + • • ¦
для вывода (7.6.15) и (7.6.16) из (7.4.13) и (7.4.17) и применим теоремы из Brillinger, Tukey (1964). Утверждение об асимптотической нормальности следует из теоремы 7.4.4 и теоремы Д5.2.
Доказательство теоремы 7.6.3. Мы уже видели в теореме 7;6.1, что, как и требуется, конечномерные распределения сходятся. Кроме того, равномерно по Я
так что достаточно рассмотреть процесс Y(n (k) = V"T[F(PX (К~ — EFxJr(A.)]; 0<А,<я. Таким образом, нужно показать полноту этого семейства вероятностных мер. Как следует из задачи 6 на стр. 41 монографии Billingsley (1968), для этого достаточно показать полноту маргинальных распределений вероятностей. Из теоремы 15.6 Billingsley (1968) вытекает, что в этом случае достаточно показать справедливость для некоторого конечного К неравенства
E {|Y$>(X)-YSt(X1) |»IYSt (K)-YS'(К I2} <К\К-КIе.
где 0< X2^. п. Для"X^pT имеем
Нетрудно убедиться, что
Из теоремы 7.6.1 видно, что все вторые моменты величин
Уа1ЧЦ — Уаь{к)> YaJ (K)-Y0V {x) И СОПрЯЖЄННЬіХ ИМ МеНЬШе ИЛИ
равны l]x2-x1I для некоторого конечного l. Нам остается, таким образом, рассмотреть только
cum,,, {Yp M-Yp (x1), У?> (K)-Yp (W = Та (2пТ)-*%? E E c"m №Г) (^rJT) dp (-2nrjT),
dp (2яг2/Т) dp (~2nr2/f), dp (2JK1ZT) 4Г) (-2nsjT),
dp(2ns2/T)dp(-2nSifT)}, (*)
где %і < 2лГі/Т, 2nr2/T < x и x < 2nsjT, 2nsJT < x2. Поскольку здесь области суммирования не пересекаются, семиинварианты в правой части имеют меньший порядок, и на самом деле выражение (*) имеет вид
Г2 (2яГ)-4 ? ? 2 (А(Г) (2я [г, - г2]/Г) О (И
+ Д<г> (2я[Si-S2]ZT) О (Г2) + О (T2)) = \Х2 — Х1130(1).
Далее, если Ef/, EV=O, то
E {[/2F2} = cum2,2 {U9 V} + 2 (E {(/V})2 + (Ei/2) (EV2).
Это дает нужный результат.
Прежде чем мы приступим к доказательству теоремы 7.7.1, отметим, что в силу инвариантности оценки относительно сдвига можно действовать так же, как в случае EX(^)=O. Докажем леммы, показывающие, что исправление среднего значения не приводит к асимптотическому различию со случаем EX(^) = O,
Лемма Д7.1. Пусть X(t)> t = 09 ±1, есть r-мерный векторный ряду удовлетворяющий условию 2.6.2(/) и имеющий среднее 0. Пусть ha(u)9 — оо < и<С оо, удовлетворяет условию 4.3.1, a= I9 г, величина caTJ{u) задается выражением (7.7.8) и для U = O9 ±1,
т&> (и) = {Н% (0)}-* 2К (Ц?) К (±) Ха (t + и) Xb (*).
Тогда разномерно по и
Е|С?>(")-/"& (и) P = O(T-2).
Доказательство. Положим haT) (u) = ha(u/T). Тогда S ЛІТ» (t + и) hp (t) [Xа (t + u)- ср] [Xb (t) - ср]
t
- 2 hp (t + и) hp (t) Xa(t + u)Xb (t) =-cp%hp (t +u)hp (t)Xb (t) -cp2AJ (t + u) hp{t) X0 (t + u)
+ cpcfP %hp (t + u)hp(t). (*)
Теперь из теорем 5.2.3 и 5.2.8 получаем, поскольку са = 0, E (ср)< = E ря2hp (ІГIP (0) /12 hp (0}2]2 = О (7-і).
Из рассуждений в этих теоремах следует также, что равномерно по и
E (2hp (t + и) hp (0 Хь (0)4 = О (2hp (t + и)»Af> (О2)2'
= 0(2^Ч042Л(/Ч04) = 0(7*).
Отсюда вытекает соотношение
E |(*) |в = 0(1),
дающее нужный результат.
Лемма Д7.2. Предположим, что выполнены условия теоремы. Допустим, что EX (t) = О и
glV (А) = (2л)-12шаЬ (Яги) m<J> («) ехр {-Ш*};
тогда равномерно по А
E |fS> (X)-^W = О (BfT-»).
Доказательство получается непосредственно из леммы Д7.1 и того факта, что
ВТ 2 I ™аЪ (ВТ»)\~\\®аЪ («0 I Л*.
Доказательство теоремы 7.7.1. Лемма Д7.2 показывает, что асимптотики для faTb (А) по существу совпадают с асимптотиками gab {К- Начнем с рассмотрения Eg^(A,). Мы имеем
gg>(k)= ]Wp{%-a)I${a)da, о
где
Wp (*) = S wab {BtU) ехр {- Ни}.
По теореме 4.3.2
EI$(a) = fab(a) + 0 (T-I)9
поэтому
о
