Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Of T-2L-2M-wgL (73/2)1+^-2^-1^2^ ^ ... ^ Wm ^v1 2^1 ^ ... W«> (vN -??*) j Дел {/pi + 1 + ... +
-A<n(^V1+i + -+V)l)
3=0 (7^-2^-2^-2^5^" 1 ^3/2)І + Л1-2 TZTp-lfN-p+l)^
что дает указанный результат для L + ЛІ >1. Остальные соотношения получаются таким же способом.
Зги оценки порядков совместных семиинвариантов для некоторых целей вполне достаточны, однако они являются довольно грубыми для случая второго порядка. Здесь верна более детальная
Лемма Д6.7. В условиях теоремы 6.5.1 cov {[HI? (X) |л, [f# (Ji)U= (2яГ-Т |?№<п (Ч-2^)
х -Щ U [igj (|-s)]^J + 0 (T-)
= fee (X) рпт-1)* (я-^]г(Г> (ц-Щ
4,й(т)1} + 0(7-)
= 0(^7"1),
cov да(X)L7S} WhO(T-/»),
cov <f?> (X), f$ (V)} = /в? (X)» (2яГ-1)2 (х -2-^)
S
= О (Вт 1T-1).
Доказательство. Рассмотрим второе из этих выражений. Как следует из первого соотношения в доказательстве леммы Д6.4, искомая ковариация равна
T-' ? ? wyT) {ь-Щ w™ (ц -2fs) [<#> [Щ\
гфО s
х{(2я)«Д«-'(^.)/юв(^., щ+0(1)} = 0(Т-*Т"*Т).
Другие ковариации также получаются из этого соотношения, леммы Д6.4 и того факта, что f&e(X) имеет равномерно ограниченную производную, а носителем функции W(T) (а) является
I GC I < ВТП.
В следующей ниже лемме МЫ ПОЛОЖИМ Cr = IS2. +Г"1/2. Лемма Д6.8. Пусть R (t) = 2 a (t — u) X (и). Тогда при уело-
и
виях теоремы 6.5.1
f$(X) = A(X)f&(X)+0(Cr), f&(X)-f$(X) + fffi(X), & (X) = A (X) f& (X) A (X)* + О (СТ),
гЛ (X) f& (X)- f & (X) = о(| рг» (X)], і»),
ей' M = (я.) -?? (я) ftft (я)"1 f& (я)+о (Ст) = /2» (я) і- о (S |рй (я)]й |» j + о (сг)
Доказательство. Первое из этих выражений мы получили в ходе доказательства (6.5.14). Второе получается непосредственно. Для третьего заметим, что
ГШ)=2*Т-^Ф<Т>(к-Щ (2яГ)-*{а(?Р) (^-s)+0(l)|
x[dirr)(^)A(^)+0(l)}Te
откуда и выводится указанный результат. Согласно условию 6.5.2, имеем
1 fg? (X) f & (X)"' ЙЙ W 1 < tr {fffi (Л) fg? (Я) fj& (X)^}
<Ltr{fg>(X)fg?(X)}
при конечных К и L. Для последнего утверждения заметим, что
в?» M = /? (я) - № W+№ W+/?» (я)
- {f$ (я)+f$ (я)} !5? (я) - {fSS (я)+f&> (X) \,
и результат вытекает из предыдущих соотношений леммы.
Доказательство теоремы 6.5.3. Мы видим, что по леммам Д6.8 и Д6.7
E«g> W = E/g> (X) + О (2 E |[f&> (X)], I2) + О (СТ)
= Ef&(ty + 0 (Bt1T-I) + О (Ст).
Из теоремы 5.6.1 ясно, что
Ef?> (X) = fee (X) + О (B7) + О (Bf1T"1),
и мы получаем нужный результат.
Доказательство теоремы 6.5.4. Из (6.3.2) и леммы 6.3.1 видим, что
Edp (0) = Гр +А (0) dtf> (0) + 0(1).
Это дает
Ес</» = ^ + А(0)с(хг» + О(Т-х).
Поэтому, используя (6.5.14), получаем соотношение Ej^^E^-A^ (0) с?>}
= |i + А (0) с?> — {A(O) +О (ВТ) + О (T-1'2)} с<Р + О (T'1).
Теперь результат доказан, поскольку из указанной ограниченности X (t), / = 0, ±1,..., следует равномерная ограниченность с(Р.
Доказательство теоремы 6.6.1. Непосредственно из определения А(Г)(Х) видно, что
cov {A^ (Х)\ A^ (її)*} = f& (X)- cov {f &> (X) f ?> (tf} \{Рх
и (6.6.3) следует из первого выражения леммы Д6.7.
Доказательство теоремы 6.6.2. Как и в доказательстве теоремы 6.5.2, мы имеем разложения Тейлора
log Gf > (X) = log I EAp (Х)| +1 {[E Лр (X)]- [Лр (X) - EAf > (X)]
+ [EAf1 (X)]- [Л)Г) (X)- E Л<Г) (X)]} + ..., Фр(Х) = arg EAf > (X) + -^ {[ЕЛ}-Г > (X)]- [Af> (X) - ЕЛр (X)]
-[ЕЛТЧХ)]- [ЛГ^Х)-ЕЛТЧХ)]} + • • - •
Нужные ковариации получаются теперь из этих разложений и (6.6.3).
Доказательство теоремы 6.6.3. Из леммы Д6.8 видим, что
cov (X), &?(\i)} = cov{f&>(X), f&>(ji)} +остаточный член. Из леммы Д6.6 ясно, что остаточным членом является
О (T-2Bf1 + T-^2Bf1+1 + T-1Bf1+2).
Указанный результат следует теперь из (5.6.12).
Доказательство теоремы 6.6А. Как видно из (6.3.2) и леммы 6.3.1,
= «а + А (0) с</> + (0) + О (Г-1) = (х(Г> + А(Г> (0) с(/\
Соотношение (6.6.13) следует теперь из теоремы 4.3.1.
Доказательство теоремы 6.6.5. Если воспользоваться представлениями леммы Д6.8 и леммы Д6.6, то первой искомой ковариацией будет служить
ti& (X)-1 cov {fffi (X), gg> ДО} = О (Г-3/2Я-1 + Г-1).
Вторая ковариация получается из представления р(Г), полученного в доказательстве теоремы 6.6.4, и из лемм Д6.6 и Д6.8. Последняя ковариация получается аналогично.
Доказательство теоремы 6.7.1. Мы докажем первую часть этой теоремы, вычисляя совместные семиинварианты А(Г)(р), gee4v) порядка выше второго и устанавливая сходимость к О этих совместных семиинвариантов при подходящей нормировке. Из леммы Д6.6 видно, что
(ВТТ)Ш* W cum <[A<r, (|ii)]m.....t [А(Г, ((%)]шл1>
вй'К), .... &>(vN)} '(BrT)UIbO(T-H^Bf"+1), если M = O1 г= < (ВТТ)Ь + пь О (T^t)-NBfN+1), если M = 1, (BTT)W+m/2 о (T-W)-NBt1), если М>1,
и каждый из них стремится к 0 при T—>oo. Вторая часть теоремы доказывается аналогично, вычислением совместных семиинвариантов.
Доказательство теоремы 6.8.1. Из (6.8.2) видно, что
Ea^M = Pf1 2 Е{А(Г)(2яр//>г)}ехр{/2яры//>г}
P=O
"Pfl 2 {А(2лр/РТ) + 0 (Вт)+0 (T-»/»)} ехр {І2при/Рт\