Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
пры некотором конечном К.
Доказательство. Кумулянт имеет вид
2- • •2C &)•-. X^expj-fiv/k,..^-'*,.... -**)
5 Г Аг-1 Л
= 2- ..2еХр{— і 2 V"/ Г °аи-в* •.¦."«Jk-I)
«y = -S i 1 j *
X 2 Л?} (/ + U1).. .?^ (Z + ^1) AiJ (0 ехр j-і 2 *у/ Применяя лемму Д4.1, приравняем это выражение
2:=::2exp|-z 2 Vy|cei...^("i» •¦•. ^-1)^..^(?! + ...
•¦•+**)+Єг.
где ег оценивается указанным выше образом.
Лемма Д4.3. При выполнении условия 4.3.6 гТ = о(Т) при Доказательство.
Но T-1 (I 1+ ... Ч-1 ^-i I) —^ 0 ПРИ ^-^оо. Опираясь на (4.3.6), мы можем теперь применить теорему о мажорированной сходимости и убедиться, ЧТО Г"1^]—^O при T —>0O5
Лемма Д4.4. При условии (4.3.10) єг = 0(1).
Доказательство очевидно.
Доказательство теоремы 4.3.1. Воспользуемся соотношением far * 'ak (^1' * * •'
= (2л)*-1 2- у2 ехр j-t S v/ J^1•••««*("і.....+0 0);
утверждение вытекает из лемм Д4.2 и Д4.3
Доказательство теоремы 4.3.2. Оно немедленно следует из лемм Д4.2 и Д4.4 и соотношения
f ах...*ь ^1' 9 "9 ^k-l)
= (2я)*-»2 — 2ехр|-і 2 v/ Jc411...ak(uu .... ^) + 0(7^),
так как выполнено'условие (4.3.10).
Следующая лемма понадобится нам при доказательстве теоремы 4.4.1.
Лемма Д4.5. Пусть Y*7*, Г= I1 2, будет такой последовательностью случайных векторов с г комплексными компонентами, что все кумулянты величины {Y[T\ Y[T\ ..., Y{rT\ ~Y{rT)\ существуют и стремятся к кумулянтам величины {Y1, Y11 ...
Yn Yr\, которая определяется своими моментами. Тогда Y(7> сходится по распределению к величине, имеющей компоненты Yb .... Y,.
Доказательство. Все сходящиеся подпоследовательности совместных функций распределения Y^> стремятся к совместным функциям распределения с заданными моментами. По предполо--жению существует только одна функция совместного распределения с такими моментами, отсюда и вытекает указанный результат.
Доказательство теоремы 4.4.L Вначале отметим, что (± Ay (T)) = ДО (± Xj (T)) E Ха (t)
( 0 при Xj (T) ф 0 (mod я),
= {- ТЕХа (t) при Xj (T) = 0 (mod 2я), І0 или EX а (t) при Ay (T) = ± я, ±3я, ... .
Поэтому ясно, что первый кумулянт величины dx} (Xj (T)) ведет себя требуемым в теореме образом.
Далее отметим, что в силу теоремы 4.3.1
Г"» cov {(C' (± J, (П). «г> (± (Л)>
_ ( »'*«<П*»™) <± V (T)) + *<.).
Выражение в правой части последнего равенства стремится к нулю, если Xj(T) ± Xk (T) ф (mod 2я). Если же ± Ay (T) === ± Aft(T) (mod 2я), то оно стремится к 2я/аЬ (± Ay). Это показывает, что и поведение кумулянтов второго порядка правильно указано в теореме.
Наконец, вновь сославшись на теорему 4.3.1, видим, что
T-W cum {d?> (± АУі (T)), ..., d<g (± A/ft (T))}
- T-*/2 (2я)^-1А(П (± Ay1 (T) ±... ± АУ/, (T))
X (± Ау, (T), ..., ± A^1 (T)) + о (Г - */»).
Последнее выражение стремится к 0 при Т—*оо, если k > 2, поскольку Д<7>(-) ведет себя как О(T).
Объединяя все эти результаты, мы видим, что кумулянты рассматриваемых величин, а также сопряженных величин, сходятся к кумулянтам нормального распределения. Заключение теоремы вытекает теперь из предыдущей леммы, так как нормальное распределение определяется своими моментами.
Доказательству теоремы 4.4.2 предпошлем лемму.
Лемма Д4.6. Пусть ha(t) удовлетворяет условию 4.3.1, а = = 1, ..., г, и пусть #<r> (X) задается формулой (4.3.2). Тогда
1"' к
при некотором конечном К
если X 5^0 (mod 2я). *
Доказательство. Предположим для удобства, что h (t) отлична от нуля только при O^Z < Т. Используя упр. 1.7.13, получим
"2L4 W=-E^)[ns (Ф)-ІІЧ(т)" •
Но |Al'>(A)|< l/|sinA,/2| и поэтому
IWКіііїїЬі? пч (Ф)-цч (т)
^ I sin Х/2 I
согласно лемме, применявшейся при доказательстве теоремы 4.3.2.
Доказательство теоремы 4.4.2. Действуя, как в теореме 4.4.1, получим с помощью лемм Д4.6 и Д4.1
Ed^ (± Xj) =ХК(4) ехр {- iy}Са
о(\) при X7- ф 0 (mod 2л;),
[ТНа{0)са+о{1) при Xy = 0(mod2n).
Далее из теоремы 4.3.1 имеем T-*cov{d;7>(±^
что, согласно лемме Д4.6, стремится к нулю, если Ay±^^0(mod2n), и стремится к
2п { J К (/) Ль (0 <«} /вЬ (± Ху) = 2я#аЬ (0) fвЬ (± Ху),
если ± Яу = ± Xfe (mod 2я). Теперь
cum {d?> (±ХА),..., ^ (±ЧП = (2n)*->#<[> ^(± Xy1 ±... ±Х//г)
х/в1...вЛ(±*у;,...л,Л.1)+о(Г1-*/2).
Это выражение стремится к 0 при й > 2, так как Ж7> (X) = О(Г),
и доказательство завершается так же, как раньше.
Для доказательства теоремы 4.5.1 мы рассмотрим серию лемм. Обозначим
H2= J А (0е Л,
аТ = D Re d?> (X) = 1JI #(П (X - а) + #<г> (- X - а) |* /„ (а) da.
Лемма Д4.7. Пусть выполнены условия теоремы 4.5.1, тогда при заданных X, е и достаточно малом а
E ехр {а Red(p (X)} < ехр {а2оТ (1+6)/2}.
Доказательство. Первое из выражений, выписанных при доказательстве леммы Д4.2, показывает, что
(cum {dT (X1), ..., dT (X,)} I < 2L*TC„ (*)
где L = sup IЛ (w) |, а Ск определены в (2.6.7). Тем самым
I log E ехр {аRedp (X)}-а2от/21< 22LkTСh\a\k/k\
з
Выбрав достаточно малое а, получим нужное неравенство. Следствие. При условиях леммы Д4.7
