Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
E ехр {a I Re dp (X) \\ < 2 ехр {а2ог (1 + е)/2}.
Лемма Д4.8. Пусть А,г = 2яг//?, г = 0, # —1, где целое
#>6я7\ Тогда
sup I Re d# (X) К sup I Re d?> (^)|/(1- bnTR-i).
Я r
Доказательство. Неравенство следует непосредственно из леммы 2.1 книги Woodroofe,. Van Ness (1967), см. также теорему 7.28 из гл. 10 книги Zygmund (1968).
Лемма Д4.9. При условиях теоремы 4.5.1
Eехр {asup|Red(/> (А)|}< я
<2exp{log Д+а22яТ \ h (ufdu (1 +є) sup fxx (%)/[2(\—6nTR-l)*\.
я
Доказательство. Интересующее нас математяческое ожидание не превосходит
E ехр {a sup I Re dp (X1) \ / (1—GnTR-*)}
< 2 E ехр {a j Re dp (Xr)\I (1 - 6TiTR-1)}.
Отсюда и получается доказываемое неравенство, поскольку сумма содержит # = exp{log/?} слагаемых и
°т < {sup fxx (a)} J i #<7) (a) |2 Л* == {sup f„ (a)} 2яТ j A (^<te.
ЛеммаД4.10. Зафиксируеме, б > 0 и обозначим а2 = 2я (1+є)х
X (2 + б) T (log T) H2 sup (X). При выполнении условий тео-я
ремы 4.5.1 найдется такое /С, что
P [sup I Redp (X) I > a] < ЯТ-*-«. Доказательство. Эта вероятность не превосходит
ехр {— aa} 2 ехр {log R
+ а22яГ (1 + є) H2 sup fxx (X) /[2(1- бяТі?-1)2]},
а если взять здесь R = T log T и
a = a (1 -QnTR-1)2/[2лТ (I+г) H2sup/„ (X)],
я
то не превосхрдит
2 ехр {— Ф (1 - 6яГ#-*)2 / [2пТ (1 + 8) H2 sup fxx (X)]}
я
X ехр {log T + log log Т\.
Последнее выражение меньше либо равно KT'1-6 при указанном выше выборе а.
Следствие. При выполнении условий теоремы 4.5.1 Ш sup I Re d$> (X) 11 (T log T) 1/¦^ (2л С Л. (*)«Л Sup /„ (X))1/J с вероятностью 1.
Доказательство следует из леммы Бореля — Кантелли [см. Loeve(1963)] ввиду произвольного выбора є и б в лемме Д4.10.
Доказательство теоремы 4.5.1. Можно сформулировать следствие, аналогичное только что рассмотренному, и для lmd(p(X). Тогда доказательство вытекает из того, что
I dp (X) |< I Re d р (X) I +1 Im dp (X) |.
Доказательство теоремы 4.5.2 вполне аналогично доказательству теоремы 4.5.3, к которому мы теперь перейдем. Отличие состоит лишь в том, что вместо основного неравенства следующей леммы надо применить такое:
!ситячи Щ(**>}|<Л1*ЄА.
Доказательство теоремы 4.5.3 представим в виде цепочки лемм.
Лемма Д4.11. Предположим, что функция h(u) имеет конечный носитель и производная ее равномерно ограничена. Пусть
?(Т) (X) ^1P(X)-A (X) dp (X).
Тогда
I cum {^)(X1), ^(Кк)}\^Т-*+Ш*Ск при некотором М.
Доказательство. d^> (X)-A (X)U^ (X)
=2 Л(Г) (0 2 а (* -у)х (у) ехр {— ш)
t V
-2 л<г> (/) х (t) ехр {— iXt) 2а (и) єхр {— 1'М
= 2 [h(T) (и + о)—А<г> (о)] а (ы) X (v) ехр {— tЯ (и + v)}.
U, V
Поэтому
cum{Vf(K), ....
X ЄХР {— І S h ("/ + Vj)} S • • • S «оА ("i) • • • а«ь6, ("*)
Модуль этого выражения не превосходит .
S ... S S \щ\т-ч...\ик\т-*ь
<^T-k+1MkCk
при некотором конечном M (здесь L обозначает константу, ограничивающую производную функции h(u)).
Лемма Д4.12. При достаточно малых а можно указать такое число L, что
E ехр {а Re йг> (X)} < ехр {a*L/T}.
Доказательство. Из предыдущей леммы получаем, что при малых І оь I найдется такое конечное L, что
OO
I log E ехр {а Re (X)} | < S T'^MkCk | а < Г'11 а I2L.
2
Лемма Д4.13. Яг/стб lr = 2nr/R, г = 0, Я—1, где # — целое одело, # > 12я7\ Тогда существует такая константа N, что
sup I Ur> WI < sup I й'> (M I / (1 - 12яТ#-*) + NT-* sup | d J> (X) |.
Я. г
Доказательство. Пусть
А(П (А) = 2 а (и) ехр {—Ш/}.
w= -Г
Тогда из (4.5.8) вытекает, что при некотором К
|A(A)-A<r> (X) \^KT-K Далее можно представить QT) (X) в виде
{dip (X) - № {Х) d?> (Я)} + {А(Г) (А) - A (A)} d?> (А). (*)
Первый член этого выражения является тригонометрическим полиномом порядка 27. Поэтому, в силу леммы 2.1 книги Wood-
roofe, Van Ness (1967),
sup I [dp> (A)-A^ (Ц№(Ща\
< sup I [dVr> (K) - A'7*' (K) W (K)]* 1/(1-12nTR-4
< sup I &r> (K) I / (1-12ЯП?-1) + KT'* sup Id^ (X) I / (1-12яГЯ-ї).
Отсюда и из.(*) последует указанное в лемме неравенство.
Лемма Д4.14. При выполнении условий теоремы 4.5.3 Eехр {asup I (К) I / (1 -\2nTR-1)}
г
< 2 ехр {log R+ (x2LT-1/ (1 -\2nTR-1)2}.
¦Доказательство. Достаточно применить лемму Д4.12 и учесть, что sup берется по конечному множеству из R элементов.
Лемма Д4.15. Пусть выбрано число 8>0 и a2 = 4L(2 + 8)x X log TfT9 тогда при выполнении условий теоремы 4.5.3
P [sup I ?<Г) (К) I / 0 - 12яГ#-1) > а] < КТ'1~6
г
при некотором конечном /(.
Доказательство, Положим = T log 7 и
а~ 2L
Тогда интересующая нас вероятность не превосходит
2 ехр {log T + log log Т — а2Т (1 — 12Я7/?-1)2 / (4L)}
< /( ехр {log T - (2 + б) log T) < KT'1-*.
Следствие. При условиях теоремы 4.5.3 найдется такая константа К, что
Hm sup I lp (%r) I / [(1 -\2nTR-1) T-I/* (log Г)1/2] < Я
с вероятностью 1.
Доказательство теоремы 4.5.3 следует из теоремы 4.5.1, предыдущего следствия и леммы Д4.13.
Доказательство теоремы 4.5.4. Согласно упр. 3.10.34(b),