Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма Д7.5. При достаточно больших T Еехр jasuplReg^MI
< 2 ехр і log R +^Bf1T-W sup faa (X) sup fbb (X) (1 +Щ .
l Я Я {
Лемма Д7.6. Пусть a2 = (log l/BT) Bf1T-1O sup faa (X) sup fbb (X)
я я
X 2(1 +P)(I +т]) для заданных т|, Р>0. Тогда для некоторого конечного N
P [sup I Re gaV (X) I > a j < №
Доказательство теоремы завершается доказательством аналогичных лемм для Img^P(A) и применением леммы Бореля — Канте л ли.
Доказательство теоремы 7.7.4. Положим wab (и) = 0 для |а|> 1. Тогда fob (X) является тригонометрическим полиномом степени Bf1 = п. Из упр. 3.10.35(b) вытекает равенство
/g» (Я) - E$> (A,)= j [/g> (а) - E/g> (а)] Dn (Я - а)" da.
о
Пусть k — положительное целое число, тогда
Г2я -І1/2Л
I (Я) - Е/?> (А,).| < I S I (a) - Efg> (a) J
[2Я l(2A5-l)/2ft
$1^(^-^^/(2^1)^
Как следует из упр. 3.10.28, последний интеграл здесь имеет порядок 0(nll2k). Мы видели при доказательстве леммы 7.7.1,
что EI/g^a) — E/$}(a)|8* = 0(Bffcr-*). Из этого следует, что Е[(ВгГ)^Бег81^ Выбрав до-.
статочно большое k9 получим оба результата теоремы.
Доказательство теоремы 7.7.5. Для положительных целых k имеем неравенство
р-1
sup
р
2*
Из теоремы 7.4.4 следует, что равномерно по % E IШЬ) - ЕДР (Я) Iа* = О (Bf
Поэтому
E [(b7t)V P?-8up|/?>pp?)-E/3> (^) I]'* —0(/?.-—).
Выбрав ? достаточно большим, мы получим оба результата теоремы.
Доказательство теоремы 7.9.1. Как следует из леммы Д6.3 и теоремы 4.4.2, справедливы соотношения:
#т>(Х)=УШц+оп.АУт), 43W=T^SJf с/Л+оп.н. (Vt)9
где т) имеет распределение N^(O9 Z0656 (Я)); 0у, / = 1, J9 являются независимыми величинами с распределением N$ (О, а |уЛ, / = 1, ..., J9 6=1,..., /С,— независимыми величинами с распределением Ni(O9 fee(ty). Остюда следует, что
(2яТ)-» S У \ІЇ?(Ц-й(Р (Я) I" = S SI Ey* - С/. Iа + оп... (1).
/ = 1 /г= 1 1 ¦f" J- jk
(2яГ)-^^|^;-Л?.|* = /С^|Су-?..+6^-6:^+0,,.,,.(1), ^ИІ»|2 = ^|С.. + 6. + ті|*+оп.н.(1).
Вычислив ковариации, мы убедимся, что ?/Л —?/., ?/. — ?..+8/-6. и ?.. + 0. + т) статистически независимы. Отсюда и следует статистическая независимость статистик, рассматриваемых в теореме. Справедливо равенство
21^ = 2К/*-ы2+а:2|Ы?.
В упр. 4.8.7 показано, что 21S/*"" С/-Iа имеет распределение /ее (Ц ХІУ(/с-і)/2. Справедливо также равенство
216/,+6,1 = 2116/--6..+6,-6. p+/|s..+e.|\
/ /
и, еще раз обратившись к упр. 4.8.7, заключаем, что 216/-— + 8у—Є. I2 имеет распределение [/w (Л) +/C"7ee ХЇ<у-і>/2. Наконец, величина 16•• + 6. + TiI2 распределена какД/аа(А) +J-*/pP(A,) + J^K^fee WJX2/2. Это завершает доказательство теоремы.
К главе 8
Доказательство теоремы 8.2.1. Можно записать E {[ Y - fi - аХ] [ Y - fi - аХ]т} = Or—I* — ^x] —F* — а**х]т + 2kk- а2хк - 2 кхат + aSxxaT = О к- - ^x] Or- а^х]т + 2kk- 2 кх2хх2хк + (а2хх_ 2кх) 2^x (а2хх —2гх)т
^ 2kk- 2кх2#*2х/>
равенство здесь достигается при выборе, указанном в (8.2.14) и (8.2.15).
Прежде чем обратиться к теореме 8.2.2, рассмотрим лемму, представляющую и самостоятельный интерес.
Лемма Д8.1. Пусть выполнены условия теоремы 8.2.1. Векторная s-компонентная функция Ф (X), для которой Еф (Х)т Ф (X) < оо и которая минимизирует
Е{[У-Ф(Х)][?-Ф(Х)]Ч, (*)
представляет собой условное математическое ожидание
*(X) = E{Y|X}.
Доказательство. Мы можем переписать (*) в виде
E{[Y-E{Y|X}][Y-E{Y|X}n
+E{[E{Y IX}-* (X)][E {Y |Х}-Ф (X)]*}
>E{Y-E{Y|X}][Y-E{Y|X}]4,
при этом равенство обеспечивается выбором *(X) = E{Y|X}.
Доказательство теоремы 8.2.2. Если случайный вектор (8.2.20) имеет нормальное распределение, то
E{Y|X} = MK+SraSxi(X-^).
Это классический результат, приведенный, например, в Anderson (1957). Доказательство теоремы вытекает теперь из леммы Д8.1.
Доказательство теоремы 8.2.3. Читатель может провести его по аналогии с доказательством теоремы 8.2.5, приведенным ниже.
Доказательство теоремы 8.2.4. Доказательство следует из очевидных неравенств, подобно доказательству теоремы 8.2.1.
Доказательство теоремы 8.2.5. Обозначим матрицы (8.2.25) и (8.2.26) через х и у соответственно. Тогда представим у в виде
у = ах + е,
где а = 2УХ2хх и е = у—ах. Столбцы матрицы е—независимые величины с распределением (0, See). Кроме того, сне зависит от х.
Поэтому при фиксированном х, как показывает упр. 6.12.20, vec (а—а) распределен по закону
N?s (0, Sgg 0(XX^"1), а независима и имеет распределение (п — 0"1Wf(^ — г, Sgg). Тем самым при фиксированном х (8.2.53) имеет распределение ${п-п- .Но так как это распределение от х не зависит, оно будет совпадать с безусловным распределением. Далее, Е{а|х} = а, так что Ea= а, как и утверждалось. Кроме того,
cov {vec a, vec а |х} = S88® (ххт)-1.
Поскольку E (ххт)_1=:(/г—T)-1S881 (см. упр. 8.16.47) и cov {Ea |х, Еа|х} = 0, то выполняется (8.2.54). Асимптотическая нормальность а последует из совместной асимптотической нормальности элементов матриц ухт и ххт на основании теоремы Д5.2, так как а является дифференцируемой функцией этих элементов.