Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
= S ®аь (Sr") сй6 (и) ехр + О (T -»)
и
оо
^Bf1 J ^,(Sf1 [Л-а])/«,(«)Л»+ 0(T-»).
— оо
что дает (7.7.13).
Далее, по теореме 7.2.2
cov{g$,W> *&(!*)} = J s (Я - а) В7<3, (J1 - р) cov {1{аТ1 («). (P)} <*а Ф
= H1JX (О)-1 MfI (q)-1ss^1 (Я-а) ^S, О* -P)
X {MfI (а -P)MfUa-P) /»,«, («) f»A (- «) + MfI (а+P) H [7X (а + P) /аА (а) /Мг (- а)} da dp + О (Т">). Покажем теперь, что равномерно по а
S W1JX (H-P) MfI2 (а-Р)МЯ(а-Р)ф
= (ц-а) SC (t) С (/) Aif (О С (O + 0 (В?2)- (**)
Поскольку
Я<?> (Я) = S(t) hp (t)ехр {- Ш}, можно записать (**) следующим образом:
SSC(^1)C ^)C («аі?«,) S ^fUn-P)
* X ехр {— t (о -P) ^1- + і (а-р) *,} dp = S S<' &) C(^i) А*? (*,) (<,) ехр {і (ц-а) (*< - /,)J
Xw(BT[ti-t2])
= S w {B1U) ехр {і (ц - а) и} 2 h(JJ (t + u) hJJ (t + u) h{JJ (t) Aj? (O
ы t
= 2nW^ (k-a)ZhlJJ (t)C (t)C (/) hiTJ (O + Яг,
где по лемме Д4.1 для некоторого конечного H
\Rt\<H^\w(Btu)\\u\^ HBf2 \\u\\w(u)\du.
Подобный результат справедлив н для второго слагаемого исходного интеграла. Вычисленная таким образом ковариация имеет вид
2я {SC(OMP(OI-1IsC(OC(O}-1 X SC(O C(O С (оС(о
t
X S {WZk (*.-*) Kl О*-») Zo1- И /*А (а)
+ ITS1 (Х-а) ^S2 (^+а)/аЛ(а)/М2(^а)}гіа+0(Б?2Г-2)+0(Г^),
откуда и следует нужное соотношение (7.7.14).
Далее, рассмотрим величины совместных семиинвариантов порядка /С. Пренебрегая с этого момента нижними индексами а, Ь, имеем
cum {2«•'(A11), .... g™(h)\
= {2UH0V(O)}-1 ... {2яЯ?>(0)}-1
X S S ^ (Sr [*i - *,]) ... а» (Вг [Z2^1 - t2L])
X ехр {- JX1 [Z1 - Q -...-ihiU-iU]} A^(Z1) ... Л<Г>(/2І) X cum {X (Z1) X (/2), ..., X (/гі_х) X (Z11)}. (*)
Далее,
cum {X (Z1) X (Z2), X(^1)X(I21)}
= S сх...х (t/', j € V1) ... ex...x (Z,; / € vP),
где суммирование ведется по всем неразложимым разбиениям V = (V1, Vp) таблицы
1 2 3 4
2L-1 2L
Поскольку разбиения неразложимы, в каждом множестве vp разбиения можно найти такой элемент t*p, что ни одна из разностей t/—t*P, j € V p=l, ..., Р, не совпадает с tii-x—tn, /=1, 2,..., L. Определим 2L — P новых переменных M1, и2і-р для ненуле-
вых tj — t*p. Семиинвариант (*) ограничен теперь величиной
V /J t*p "і Hl-p
X I(«) |kx...x (?...) .. .cx...x (..., «I11-P)I
для некоторого конечного М, где Ot1, ..., a2L выбираются из 1,...,21, a P1, $2L выбираются из 1, Р. Определив Ф(^) = /*, /^v1, и применив лемму 2.3.1, мы увидим, что среди
разностей t\t —*1ш> ^2Z-I-"^2L им€етея 1 линейно независимых. Положим для определенности, что это їр, —'5,1...
42^з-^2і>-2- С0ВЄРШИВ 3аМЄНУ
мы увидим, что семиинвариант (*) ограничен величиной
л№*222... 2 2... 2 м*л) •••H^-I)I
V h «p_j ut "zL-p
X |Л(Г) (^)11^..^(^, ...) ... сх...х(..., «I2^p)I
<м^г-^2Яг/Ь+1с«1... СЯр
V
= 0(T-L+1BfL+1),
В предпоследней строке выражения величин Cn задаются соотношением (2.6.7), а tij обозначают число элементов в /-м множестве разбиения v. Как видно, нормированный совместный семиинвариант -
cum {(B1T)^W- .... {BrT)VgM(X1)} для L>2 стремится к О при F—*оо. Это означает, что переменные (^i)» •••• 6?^*:) асимптотически нормальны и имеют структуру моментов, указанную в теореме. Согласно лемме Д7.2, то же справедливо и для /(Г), поэтому доказательство завершено.
Доказательство следствия 7.7.1 следует непосредственно из (7.7.13).
Доказательство теоремы 7.7.2 вытекает непосредственно из теоремы 4.5.1.
Доказательство теоремы 7.7.3. Мы докажем эту теорему посредством нескольких лемм, аналогичных .леммам, использованным при доказательстве теоремы 4.5.1. Как следует из леммы Д7.2, достаточно рассмотреть статистику gaP(A), соответствующую случаю с нулевым средним. Ниже, в доказательствах лемм, мы будем пользоваться обозначением
І#(*)=ЙЧ*)-ЕЙР(Х).
Лемма Д7.3. Если выполнены условия теоремы, то для выбранных К, в и достаточно малом а
E ехр {а Regjp (Щ < ехр {a2D Reв?> (А) (1 + е)/2}.
Доказательство. При доказательстве теоремы 7.7.1 мы видели, что для некоторого конечного M
I cum {^(A1), g{T4h)\\<M^T'L^BfL+1^Cni...Cn.
V
Поэтому
I log E ехр {a Regg* (Щ -D Re«#> (X) а?,21
Теперь указанный результат вытекает из (7.7.21) при выборе . |а| достаточно малым, а также из того факта, что, согласно (7.7.14),
D {Re g& (X)} ~ Bf1T-Vn^ Wab(<x,)4a {$ ha(t)hb (t)dt}~2
X {S K (ty hb(tr dt}[l+i\ (2X)] [faa(X) fbb (X) + {Refab(X)r-{lmfab(X)r]/2.
В рассуждениях ниже положим
Ф = 2я J Wab (a)*da {$ ha (t)h„(t) dt)" {ha(tyhb (tf dt}.
Следствие. Если выполнены условия теоремы, то при заданном р
E ехр {a I Reg?> (X) \) < 2 ехр {a*D Reg<?> (X)(I+ г)/2}
< 2 ехр (а'ВгТ-^Ф sup /ав (A.) sup/w (X) (I+Щ
для достаточно больших Т.
Лемма Д7.4. Пусть Xr = 2nr/R> г = 0 .... R-1, для некоторого целого R; тогда
sup I Reg&> (X) |<sup I Reg<?> (А,,) |/(1 -KBf1R")
Я г
Зля некоторого конечного К.
Доказательство. Заметим сначала, что, поскольку функция w(и) равна 0 при достаточно больших значениях \и\> (А) является целой функцией порядка ^.KBf1. Неравенство леммы Д7.4 получается теперь тем же способом, каким доказали следствие 2.1 Woodroofe, Van Ness (1967), используя неравенство Бернштейна для целых функций конечного порядка [см. Ти-ман А. Ф. (1953)].
