Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательства теорем 6.2.1 и 6.2.2. Эти результаты являются классическими. Доказательства можно найти, например, в монографии Kendall, Stuart (1961, гл. 19).
Доказательства теорем 6.2.3 и 6.2.4. Мы получим эти результаты как следствия теорем 6.2.1 и 6.2.2, переписав (6.2.6) в виде
рассмотренной в этих теоремах модели
ImX ReX
PReX
[ReY ImY]==[Rea Im а] _ Im х
+ [Ree Ітє].
Доказательство теоремы 6.2.5 непосредственно вытекает из указанных в теореме 6.2.4 свойств а.
Доказательство леммы 6.3.1. Справедливо соотношение
dip (P)= S a(u) f S Х(/-и)ехр{-ф/}1
= І] а(«)ехр{-*И |S - S + S I [X(V)ехр {-фу}]
U=-оо \_V=0 U = O VmT J
[у 1 1 7 1 ~\
S + S- ІЗ [х (V) ехр V=O V=-U V=T-UJ
= А(Р) dp ф)+е«> (P),
в котором I е(Т) (P) I ^ 4т 2а I (и) | в силу ограниченности значений X (t). Отсюда заключение леммы вытекает непосредственно. Ниже нам понадобится
Лемма Д6.1. Для произвольных 1 х М-матрицы P и гхМ-мат-рицы Q выполняется неравенство
IlPQT (QQ*)-1 Il<IlРРТ||1/2 IlQQ1)-11|1/2.
Доказательство. Прежде всего запишем неравенство Шварца в матричной форме
PPT>PQT (QTT)-1QP1.
(Это вытекает из достижимости минимума в теореме 6.2.1.) Отсюда получаем
Il PP* И > Il PQ* (QQT) -1 QPT Il > IPQT (QQT) -||2.
Далее,
Il PQT (QQT) -11|< И PQT (QQT) -II Il QQT) "1H
откуда и следует результат.
Доказательство теоремы 6.4.1. Поскольку Ee(Z) = O, выполняется соотношение ЕА(Л (X) = fj$ (X) ixx (^)"1. Подставим сюда
выражение
fW W = (2//2 + 1)"1 2L A(^-у-)lxx[-Г"
s= -m
Здесь по лемме Д6Л
1 G^fJa (Ь)-1<ЛТ-і/«И& W-1I172I
поэтому справедливо (6.4.9).
Прежде чем мы приступим к доказательству теоремы 6.4.2, докажем лемму, являющуюся некоторым обобщением результата Billingsley (1966).
Лемма Д6.2. Пусть Zm— последовательность q-мерных векторов, сходящихся по распределению к (О, I) при Г—>оо, a Um—последовательность унитарных qxq-матриц. Тогда U(nZ(n также сходится по распределению к Ncq (О, I).
Доказательство. Рассмотрим некоторую подпоследовательность Z(7,) из Z(n. Поскольку группа унитарных матриц компактна [Weyl (1946)], \J(T') содержит некоторую подпоследовательность LH7"'*, сходящуюся к U. По теореме Д5.1 U(7^Z*7"'* сходится по распределению к LW^ (О, I) = iV? (О, I). Из этого следует, что всякая подпоследовательность U(nZ(n имеет подпоследовательность, сходящуюся по распределению к Ncq (О, I), поэтому U(nZ(n также должна сходиться к Ncq (О, I).
Доказательство теоремы 6.4.2. Рассмотрим сначала X, входящие в случай Л. Как следует из леммы 6.3.1, для S = О, ±1, ±т выполняется соотношение
с равномерным по s (в силу равномерной ограниченности первой производной A (X) и справедливости соотношения J й{р (а) || = О (T)) остаточным членом 0(1). Написанное выше выражение полезно сравнить с (6.3.7). Введем обозначение DK для 1 х (2т + ^-матрицы, столбцы которой суть величины (2UT)-1I* Sp (2п [s (T) + s]/T), s = 0, ±1, ±m, и аналогично определим Dx и D8. Теперь полученное выше соотношение можно переписать в виде
+ 0(1)
DY=A(X)Dx + Dt + 0(T'V>).
Введем обозначение U(r) для унитарной (2m + I)X (2т + ^-матрицы, первые г столбцов которой составляют матрицу V[T) = DHDXDV|-1/2. Запишем это так: U(r) = [V[T) Uf >]. Применив иш к матричному соотношению, приведенному выше, получим
DYUiT) = A (Jt) DXU(T) + D8U(r) + О (Г-1/2).
Для первых г столбцов это дает
{А<г> (X) - A (X)} i{Px (ty1/2 (2m + 1)1/2 = D6Uf > + О (71-*/2).
Для оставшихся мы получим соотношение
DKUf> = DeUf> + 0(r-1/2).
Поскольку матрица U(r) унитарна, имеем
(2m + l)f(/^(Ji) = DKDTr
= DKUf> Uf >т Dy + DrUf > Uf > XD\
= D^(DxDJ)-1 D*D^ + DKUf Uf >*DTy,
поэтому
gg> (Я) = DrUf >Uf)Т = D6Uf >Uf)Т + 0, (Г-1/2),
где Оя(1) обозначает ограниченную по вероятности величину.
Теперь применение теоремы 4.4.1 показывает, что поскольку ряд е(/), Z = O, ±1, удовлетворяет условию 2.6.1, ряд Dl сходится к W?m+1(0, /еє(Я)І). Поэтому /ее (X)-1/2 DJ сходится к W?m+1(0, I). Применение леммы Д6.2 показывает, что /ее М~1/2 (DeU(r))T также сходится к N$m+1 (О, I) и потому (DeU(r))x сходится к N?m+i(0, /еє (X) I). Указанное асимптотическое поведение А{Т)(Х) и gee}(^) следует теперь из полученных для них выше представлений.
Для X, входящих в случай В или случай С, приведенная форма рассуждений проходит с заменой унитарной матрицы ортогональной. Поведение величины |х(Г) получается из ее зависимости от А(Г)(0).
Нам понадобится
Лемма Д6.3 [Скороход (1956)]. Пусть V{T), T= 1, 2,
последовательность векторных случайных величин, сходящихся по распределению к V. Тогда, переходя к эквивалентной вероятностной структуре, можно написать
V^ = V + on.H.(l).
Эта лемма дает нам другое доказательство леммы Д6.2. Мы можем написать
Z<r> = Z + on.H.(l),
где Z имеет распределение N?(0, I), поэтому U(r>Z(r) = U<r)Z + oniB. (1)
и U(T)Z имеет распределение N% (0, I) для всех Т.
Доказательство теоремы 6.4.3. Последняя лемма показывает, что можно написать
