Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бриллинджер Д.Р. -> "Временные ряды. Обработка данных и теория." -> 129

Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.

Бриллинджер Д.Р. Временные ряды. Обработка данных и теория.: Монография. Перевод с английского.. Под редакцией А.Н. Колмогорова — М.: Мир, 1980. — 536 c.
Скачать (прямая ссылка): 1980brillindzher_d_vremennye_ryady_obrabotka_dannyh_i_teoriya.djvu
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 163 >> Следующая


dp (X) = (2л)-1 J dp (а) Д<г> (X-a) da. о

Пусть k — положительное целое число. По неравенству Гёльдера \dlPW\

1/2* Г 2я , -1(24-1)/2*

И ] Д<г> (А, — сх) I2*/ (2*-l) rfcc J

<<2я)-г

S \ OP (а) Г* da

о

J d?>(a)*d?>(-a)*da|

при некотором конечном К в силу упр. 3.10.28. Из теоремы 2.3.2 и формулы (*), фигурирующей в доказательстве леммы Д4.7, следует неравенство

E\dp (а)|2*<МГ*

при некотором конечном М. Поэтому найдется такое число N1 что

Тем самым

E [sup I ^> (К) \fk^NTk+K

E [r-V.-e sup \d%> (X) |]2* < NT-№*-x).

А так как- ^T1-*2*8"1) < оо при достаточно больших k, то отсюда вытекает результат теоремы.

Для доказательства теоремы 4.6.1 вначале рассмотрим лемму.

Лемма Д4.16. Допустим, что ряд X(t), t = 0, ±1, удовлетворяет условию 2.6.1. Пусть также

t=-T о

Тогда

Hm CUmIzJ11W), ....

T j -*> » \ /г J

= \ ••• S л( S «/J Ah-(ai« •••> «A-i)dai--•

при C1, .... а„=\, ...,г, k=-2, 3, ... .

к

Доказательство. Кумулянт можно представить как> произведение (2л;) на интеграл

а* *•* T1 тк

J 2 2 сйг. . .ak(ti — tk, . .., th-i tk)

о о tkzz"Tk

( k \ %х b-k 2Я 2Я

хехр j —і 2«у/у Ma1 .. • da* = j • •. j j • • - j Za1.. .? (Pi, .. • ^ 1 J 0 0 0 0

...» (W 2 ... 2 ехр {H1 (P1 — O1) +...+^Vi(Pa-I-ал-і)-~

-« (Pi+ .. - + ?* + ?)}*?-. .

Указанный в лемме предел получаем, заметив, что

T

Hm (2я)-1 2 е*Р ^=1I (Y)»

где т](.) является периодическим расширением б-функции Дирака; см. упр. 2.13.33.

k

Следствие. Если 2^/ — 0(тос12я), то lira cum (Z<f (M-ZSp(X1), .... ZfHh)-Z%(Щ~0.

Доказательство. Кумулянт является суммой слагаемых вида ± cum [Zfx -« n (X1), ...,2? или Г) (X,)] ,

и, согласно предыдущей лемме, каждое из них стремится к одному и тому же пределу (с точностью до знака!). Поэтому сумма имеет* предел 0.

Следствие, lim EIZ (aS) (X) - Z(aT) (X) |2* = 0 при k = 1, 2, ....

Доказательство. Можно записать момент как сумму кумулянтов того же вида, что и в последнем следствии. Каждый из этих кумулянтов стремится к 0, откуда и получается требуемый результат.

Доказательство теоремы 4.6.1. Последнее следствие показывает, что последовательность Z?r>(X), T=I, 2, является последовательностью Коши в любом пространстве Lv, v > 0. Эти пространства полны, поэтому в каждом из них существует предел

Za(X).

Для завершения доказательства заметим, что выражение (4.6.7) получается из леммы Д4.16.

Доказательство теоремы 4.6.2. Рассмотрим

N-I

Тогда



s

о

С ехр{Ш}<йх(А) = 1.і.т.1.і.т.А<"- г>(')-

У Л/ оо 7 _> ос

Кроме ТОГО,

Е{Хв(0%Г>(*)Н 2 Саа(<-")П-ЄХр{-ІЯи}]/(-^)(2я)

Я 2я 7

= П ^e(P) 2 eXR{#(f —м)-юьм}гіа<ф/(2я) оо "=-г

—> S /«« (—а) ЄХР і"Ш\da»

Отсюда видно, что

( 2я "I

EjX. (О J'ехр {Ш}<йв(Ш =

-l.i.m. l.i.m.E{Xa (О • г> (*)}

• OO 1 —> OO

^ lim Y У ехр {і'2ші*/#} С /вв (—а) ехр {—iat) da

N —> оо ¦^-™ J

л = О 2nnfN



~\iaa{-«)d*=EXa(t?.

О

Аналогичным образом можно показать, что

N- 1

2я(л+1)/ЛГ

'2я .0

$ я® {IU)UZa(X)

= EX

Из двух последних равенств выводим, что



ехр {ilt}dZa (X)

[2я

J-..

и, следовательно, с вероятностью 1



Xa{t) = \ ехр{ІЩdZ.(X),

О

* = 0, ±1, т.е. получено нужное представление. Доказательство теоремы 4.7.1. Мы можем записать

-E{(Y-B-Cg)* (Y-B-Cg)}

= tr [cov {Y-Cg, Y-Cg}] + (EY-B-CEg)* (EY-B-CEg).

Минимум этого выражения, рассматриваемого как функция В, достигается при

B = EY+ CEg/

Но тогда

tr [cov {Y-Cg, Y-Cg}]

= tr [Syу -CAS7у—Sy у АХСХ + CASyy АТСТ]

= tr [(sV/2y -CASy7?,) (2& —САҐ&У].

Согласно следствию 3.7.4, минимальным этот след окажется, если положить, используя обозначения из доказываемой теоремы,

CA = Jj ц}*иуи}2?У' = 2 W Тем самым утверждение установлено.

К главе 5

Доказательство теоремы 5.2.1. Мы имеем Е/& (I) = (2яТ')~1 cum {<№ (К), йф (-%)} + (2яГ)-* | Ed^ (X) |2 = (2яТ)-* exp{-a(s-0}^x(s-0 + (2nT)-MA<r»W|24.(*)

s, /=0

Выражение (5.2.6) получается теперь заменой

*м («О = S ехР iiau\ fxx (а) da. -я

Доказательство теоремы 5.2.2. Поступая так же, как при доказательстве теоремы 4.3.2, получим с учетом (5.2.7) соотношение

cum {«ЙР (X), 4Р (-X)} = 2nTf„ (X) + 0(1),

и (5.2.8) непосредственно следует из приведенного выше выражения (*).

Доказательство теоремы 5.2.3. Прежде всего заметим, что

я

S |Я<г>(а)|Ма = 2я?л(4г)8.

-я t У '

Далее, имеем

cum {d<f> (X), dip (—%)}

= 2 ЄХР {-A (8-()}h(jr)h(-±r)cxx{s-t)

t я

= S ?ехр {-/Я, (S-O} A (¦f) A (f) ехр {ta(s-0}/«(«) At

- TLS, t Я

- J I Я^>(Л-а) !•/«(«) da.

- Я

Выражение (5.2.17) вытекает из того факта, что EW) = ( («) Iі Л») - cum {d?> (?), d?> (-X)}

+ Ц|#<г>(а)|Ма) |ЖП(Я)|«^.

Доказательство теоремы 5.2.4. См. приведенное ниже доказательство теоремы 5.2.5.

Доказательство теоремы 5.2.5. Из теоремы 4.3.2 имеем соотношение
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 163 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed