Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
dp (X) = (2л)-1 J dp (а) Д<г> (X-a) da. о
Пусть k — положительное целое число. По неравенству Гёльдера \dlPW\
1/2* Г 2я , -1(24-1)/2*
И ] Д<г> (А, — сх) I2*/ (2*-l) rfcc J
<<2я)-г
S \ OP (а) Г* da
о
J d?>(a)*d?>(-a)*da|
при некотором конечном К в силу упр. 3.10.28. Из теоремы 2.3.2 и формулы (*), фигурирующей в доказательстве леммы Д4.7, следует неравенство
E\dp (а)|2*<МГ*
при некотором конечном М. Поэтому найдется такое число N1 что
Тем самым
E [sup I ^> (К) \fk^NTk+K
E [r-V.-e sup \d%> (X) |]2* < NT-№*-x).
А так как- ^T1-*2*8"1) < оо при достаточно больших k, то отсюда вытекает результат теоремы.
Для доказательства теоремы 4.6.1 вначале рассмотрим лемму.
Лемма Д4.16. Допустим, что ряд X(t), t = 0, ±1, удовлетворяет условию 2.6.1. Пусть также
t=-T о
Тогда
Hm CUmIzJ11W), ....
T j -*> » \ /г J
= \ ••• S л( S «/J Ah-(ai« •••> «A-i)dai--•
при C1, .... а„=\, ...,г, k=-2, 3, ... .
к
Доказательство. Кумулянт можно представить как> произведение (2л;) на интеграл
а* *•* T1 тк
J 2 2 сйг. . .ak(ti — tk, . .., th-i tk)
о о tkzz"Tk
( k \ %х b-k 2Я 2Я
хехр j —і 2«у/у Ma1 .. • da* = j • •. j j • • - j Za1.. .? (Pi, .. • ^ 1 J 0 0 0 0
...» (W 2 ... 2 ехр {H1 (P1 — O1) +...+^Vi(Pa-I-ал-і)-~
-« (Pi+ .. - + ?* + ?)}*?-. .
Указанный в лемме предел получаем, заметив, что
T
Hm (2я)-1 2 е*Р ^=1I (Y)»
где т](.) является периодическим расширением б-функции Дирака; см. упр. 2.13.33.
k
Следствие. Если 2^/ — 0(тос12я), то lira cum (Z<f (M-ZSp(X1), .... ZfHh)-Z%(Щ~0.
Доказательство. Кумулянт является суммой слагаемых вида ± cum [Zfx -« n (X1), ...,2? или Г) (X,)] ,
и, согласно предыдущей лемме, каждое из них стремится к одному и тому же пределу (с точностью до знака!). Поэтому сумма имеет* предел 0.
Следствие, lim EIZ (aS) (X) - Z(aT) (X) |2* = 0 при k = 1, 2, ....
Доказательство. Можно записать момент как сумму кумулянтов того же вида, что и в последнем следствии. Каждый из этих кумулянтов стремится к 0, откуда и получается требуемый результат.
Доказательство теоремы 4.6.1. Последнее следствие показывает, что последовательность Z?r>(X), T=I, 2, является последовательностью Коши в любом пространстве Lv, v > 0. Эти пространства полны, поэтому в каждом из них существует предел
Za(X).
Для завершения доказательства заметим, что выражение (4.6.7) получается из леммы Д4.16.
Доказательство теоремы 4.6.2. Рассмотрим
N-I
Тогда
2я
s
о
С ехр{Ш}<йх(А) = 1.і.т.1.і.т.А<"- г>(')-
У Л/ оо 7 _> ос
Кроме ТОГО,
Е{Хв(0%Г>(*)Н 2 Саа(<-")П-ЄХр{-ІЯи}]/(-^)(2я)
Я 2я 7
= П ^e(P) 2 eXR{#(f —м)-юьм}гіа<ф/(2я) оо "=-г
—> S /«« (—а) ЄХР і"Ш\da»
Отсюда видно, что
( 2я "I
EjX. (О J'ехр {Ш}<йв(Ш =
-l.i.m. l.i.m.E{Xa (О • г> (*)}
• OO 1 —> OO
^ lim Y У ехр {і'2ші*/#} С /вв (—а) ехр {—iat) da
N —> оо ¦^-™ J
л = О 2nnfN
2я
~\iaa{-«)d*=EXa(t?.
О
Аналогичным образом можно показать, что
N- 1
2я(л+1)/ЛГ
'2я .0
$ я® {IU)UZa(X)
= EX
Из двух последних равенств выводим, что
2я
ехр {ilt}dZa (X)
[2я
J-..
и, следовательно, с вероятностью 1
2Я
Xa{t) = \ ехр{ІЩdZ.(X),
О
* = 0, ±1, т.е. получено нужное представление. Доказательство теоремы 4.7.1. Мы можем записать
-E{(Y-B-Cg)* (Y-B-Cg)}
= tr [cov {Y-Cg, Y-Cg}] + (EY-B-CEg)* (EY-B-CEg).
Минимум этого выражения, рассматриваемого как функция В, достигается при
B = EY+ CEg/
Но тогда
tr [cov {Y-Cg, Y-Cg}]
= tr [Syу -CAS7у—Sy у АХСХ + CASyy АТСТ]
= tr [(sV/2y -CASy7?,) (2& —САҐ&У].
Согласно следствию 3.7.4, минимальным этот след окажется, если положить, используя обозначения из доказываемой теоремы,
CA = Jj ц}*иуи}2?У' = 2 W Тем самым утверждение установлено.
К главе 5
Доказательство теоремы 5.2.1. Мы имеем Е/& (I) = (2яТ')~1 cum {<№ (К), йф (-%)} + (2яГ)-* | Ed^ (X) |2 = (2яТ)-* exp{-a(s-0}^x(s-0 + (2nT)-MA<r»W|24.(*)
s, /=0
Выражение (5.2.6) получается теперь заменой
*м («О = S ехР iiau\ fxx (а) da. -я
Доказательство теоремы 5.2.2. Поступая так же, как при доказательстве теоремы 4.3.2, получим с учетом (5.2.7) соотношение
cum {«ЙР (X), 4Р (-X)} = 2nTf„ (X) + 0(1),
и (5.2.8) непосредственно следует из приведенного выше выражения (*).
Доказательство теоремы 5.2.3. Прежде всего заметим, что
я
S |Я<г>(а)|Ма = 2я?л(4г)8.
-я t У '
Далее, имеем
cum {d<f> (X), dip (—%)}
= 2 ЄХР {-A (8-()}h(jr)h(-±r)cxx{s-t)
t я
= S ?ехр {-/Я, (S-O} A (¦f) A (f) ехр {ta(s-0}/«(«) At
- TLS, t Я
- J I Я^>(Л-а) !•/«(«) da.
- Я
Выражение (5.2.17) вытекает из того факта, что EW) = ( («) Iі Л») - cum {d?> (?), d?> (-X)}
+ Ц|#<г>(а)|Ма) |ЖП(Я)|«^.
Доказательство теоремы 5.2.4. См. приведенное ниже доказательство теоремы 5.2.5.
Доказательство теоремы 5.2.5. Из теоремы 4.3.2 имеем соотношение