Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
?-1(1'*?)
k = l 1
называют обобщенной силой, сопряженной с обобщенной координатой qt.
Связи называют идеальными, если сумма элементарных работ реакций этих связей на любом виртуальном перемещении системы равна нулю:
•? Rrsrft-O.
л= і
Это условие справедливо, например, для тела, скользящего по абсолютно гладкой поверхности или катящегося без скольжения по абсолютно шероховатой поверхности.
4 Зак.2940
98
1.5 ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
В случае идеальных связей обобщенные силы выражаются только через активные силы:
)Эгь
ft = 1 (а)
Если все силы Fk потенциальные (консервативные),, то
где U — полная (внешняя и внутренняя) потенциальная энергия системы.
В общем случае
Q1 = -I^+ Qi,
Sqi
П Эг
TReQi = X — обобщенная непотенциальная си-
н = і
ла, fft — результирующая всех непотенциальных сил, действующих на k-ю материальную точку системы.
5°. Функцией Лагранжа (лагранжианом.) L называют разность между кинетической T и потенциальной U энергиями системы. Она является функцией обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени:
Hq, q,t) = T(q, q,t)~ U(q, t).
Здесь под q и q понимают всю совокупность s обобщенных координат и s обобщенных скоростей голономной системы.
Кинетическая энергия голономной системы
п п . п
Т=\Ъ mkvl = ° + ?aAi + ? aiMi¦
ft-1 і = I Uj = I
где а = і X (Ir)* ; “»¦ = X Й ) = =
k = I k = 1
1 ^ ^ I* ~
= - > mh —- ; m — масса я-и точки системы, а
2 4? J
TkVLVk= — радиус-вектор и скорость этой точки.
I 5.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
99
В случае свободной системы или системы со етацио-Эг
нарными связями = Ona = Bj = O1T. е. кинетическая
энергия системы не зависит явно от времени и является однородной функцией второй степени от обобщенных скоростей:
а
Т = E aIflAi = я >•
-J = 1
Этот результат справедлив, в частности, для консервативных систем, так как эти системы либо свободны, либо подчинены стационарным идеальным связям. Потенциальная энергия и функция Лагранжа любой консервативной системы также не зависят явно от времени:
L(q, q) = T(q, q)~U(q).
Примеры.
1. Материальная точка массой m движется в поле центральных сил. Функция Лагранжа в декартовых координатах:
(х2 + у2 + Z2 ) - Е/| Jx2 + у2 + г2 J,
2
в цилиндрических координатах:
L=^ (р2 + р2ф2 t- г2 ) - Jp2 H z2 ),
в сферических координатах:
L = 51 (г2 + г202 + г2ф2 sin2 0) - U(r).
2. В системе из двух материальных точек массами Ut1 и т2, имеющих радиус-вектор относительного движения г (х, у, z) = T1 (X1, JZ1, Zj) - T2 (х2, у2, Z2) и центр масс с радиусом-вектором rc (хс, ус, zc), функция Лагранжа
Щх, y,z).
100 1.5. ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
6°. Обобщенный импульс Pj, сопряженный с обобщенной координатой qt, есть частная производная от функции Лагранжа L (или от кинетической энергии Т) по обобщенной скорости qt:
п = — = —
Pi Sqi дд, ¦
Примеры.
1. Для материальной точки массой m обобщенные импульсы, сопряженные с координатами х, у, г, совпадают с проекциями импульса в декартовых координатах:
Px = тх , ру = ту, рг = mz.
2. Обобщенный импульс Ptf, сопряженный с координатой ф в цилиндрических координатах, является моментом импульса относительно оси Oz:
Ptp= тр2ф.
2. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА
1°. Если движение голономной системы описывается обобщенными координатами qx, ..., qs и обобщенными
скоростями Q1, Qs , то уравнения движения имеют вид
«-1’2.....*
где T — кинетическая энергия системы, a Qi — обобщенная сила.
Эти уравнения называют уравнениями Лагранжа второго рода. Если движение происходит в потенциальном поле, то уравнения Лагранжа можно записать в виде
1.5.2. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА
101
Примеры.
1. Материальная точка массой т., движущаяся в потенциальном поле, описывается уравнениями Лагранжа, тождественными с уравнениями движения Ньютона:
TTix=Fx, ту = Fy, TTii=Fz,
где
V =_Э1/ р =_эс/ р =_ЭU
дх ’ У ду’ г Sz '
2. Уравнения Лагранжа для координат центра масс замкнутой системы двух тел:
•• •» ¦¦ ~
хс ~~ Ус “ zc ~
Центр масс движется прямолинейно и равномерно совершенно независимо от относительного движения обоих тел.
3. Уравнения Лагранжа для относительного движения замкнутой системы двух материальных точек:
Tii1Tnz „ = _ди Tn1Inz „ = _эа IJijtm2 дх’ Tii1 +mz ду’
Tii1Tii2 =
Tn1 + JTis Эг ’
где U — взаимная потенциальная энергия точек =
U^-Jx2+ у2+ Z2Jj, х = X1 - х2, у = Jz1 - «/2 и г = Z1 - Z2.
Таким образом, задача об относительном движении замкнутой системы двух взаимодействующих материальных точек сводится к задаче о движении во внешнем потенциальном силовом поле F = —grad U одной ма-
u V I Wlp ц
т*»риальнои точки массой /Tct7ti = —=—— , называемой
у Pil +т2
приведенной массой.
102 I 5. ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
2°. Если силы, действующие на голономную систему, непотенциальны, но обобщенные силы можно представить через так называемый «обобщенный потенциал» U*(q, q ) в форме
