Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
4°. Свободное вращение тела называют стационарным, если вектор (й угловой скорости тела постоянен. Необходимым и достаточным условием такого движения является вращение тела вокруг одной из главных центральных осей. Однако практически стационарное свободное вращение осуществляется только вокруг главных центральных осей (с наибольшим и наименьшим моментами инерции), называемых свободными осями тела, тогда как свободное вращение относительно третьей оси является неустойчивым.
5°. Если механическая система не замкнута, но главный момент внешних сил относительно какой-ли-бо неподвижной точки О тождественно равен нулю, то момент импульса системы относительно этой точки не изменяется с течением времени.
Момент импульса незамкнутой механической системы относительно неподвижной оси а не изменяется, если равен нулю главный момент внешних сил относительно этой оси: еслц М”неш = 0, то La = const. В частности, для тела, вращающегося вокруг оси Oz неподвижной системы координат, Jzioz = const, если М“еш = 0.
5. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ
1°. Силу, действующую на движущуюся материальную точку или тело, называют центральной, если ее линия действия все время проходит через одну и ту же неподвижную точку О, называемую центром силы:
где г — радиус-вектор, проведенный из центра О в точку приложения силы F; Fr — проекция силы на направление радиуса-вектора. Примерами центральных сил
88 1.4. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
являются силы тяготения между материальными точками и силы электростатического взаимодействия между точечными электрическими зарядами, для которых Fr обратно пропорционально г2.
2°. При движении материальной точки под действием центральной силы ее момент импульса относительно центра О силы не изменяется:
— = M = O, L = rx mv = const, d t
Поэтому точка движется в плоскости
LXX + L,,У + hZz = °’
перпендикулярной к L и проходящей через точку О. Секторная скорость точки постоянна (второй закон Кеплера):
2о = г2 ф = — , т
где г и ф — полярные координаты точки в плоскости ее движения (декартовы координаты точки ?, и г|).
3°. Если центральная сила, действующая на рассматриваемую материальную точку, зависит только от г: Fr = Fr{r)> то эта сила является потенциальной.
Потенциальная, кинетическая и полная энергии точки равны:
Wn(r) = -JFr (r)dr,
Wk = — ( г2 + ^ф2)=^ + L2
2 2 2 тг2
W= ^ + +Wn(r).
і 2mrA
Связь между полярными координатами точки и временем имеет вид:
t =
J
^mL 2/пг2-1
f ^dr J J2 Fn(W-WJr)]-
L1
¦2
1.4.5. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ 89
Вторая формула определяет уравнение траектории (орбиты) материальной точки, а первая — закон движения точки вдоль этой траектории.
4°. Полная энергия W точки в процессе движения не изменяется. Поэтому область возможных значений полярного радиуса г точки определяется из условия
— + Wn(r*) = W,
2тгІ
где г* — экстремальные значения г, т. е. гмвкс и гмин. Ec-ли гмакс — конечная величина, то движение называют финитным. При этом траектория точки заключена внутри кольца, ограниченного окружностями г = гмин и г = гмакс. Все траектории финитного движения точки замкнуты, если потенциальная энергия Wn пропорциональна і или г2. Если максимальное значение г не ог-г
раничено, то движение называют инфинитным.
5°. Задача Кеплера — движение материальной точки под действием центральной силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния от центра силы:
F = -Ir и Wrn = -P,
г3 г
где P — постоянная величина. Если P < 0, то точка отталкивается от центра (кулоновское взаимодействие одноименных точечных зарядов); если P > 0, то точка притягивается к центру (гравитационное взаимодействие материальных точек и кулоновское взаимодействие разноименных точечных зарядов).
Траектория точки — коническое сечение, уравнение которого в полярных координатах имеет вид
Г= , (Р>0),
I+ € COS V
(Р < О),
I +е cos 41
T 2 I о
где р = —г-, — параметр орбиты, е = /1 +---------— — экс
"i|pl V ^p2
центриситет орбиты, W — полная энергия точки, а L — ее момент импульса относительно центра.
90 1.4. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
1-й случай. р>0. Центр силы лежит в фокусе орбиты материальной точки. Расстояние от него до ближайшей точки орбиты, называемой перигелием, равно
г - -Є-.
мин у +е
Если W -» 0, то е > 1, и орбита имеет форму гиперболы; если W = 0, то е = 1, т. е. орбита — парабола; если W < 0, то е < 1 — орбита эллиптическая (рис. 1.4.1), полуоси которой равны;
„ _ P = P х..— P _ L
21 WrI ’
1-е2 2| W\- Jl-c2 -j2m\W\
Период обращения точки по эллиптической орбите:
T = 2тг
W > 0
Рис. 1.4.1
2-й случай. Р< 0. Полная энергия точки
П
W =
+
Л- +Ш! >о.
2 Hir2 г
Поэтому движение всегда инфи-нитно, а траектория имеет вид гиперболы (W > 0) или параболы (W = 0). Центр силы О и фокус орбиты F расположены на ее оси симметрии по разные стороны от перигелия П (рис. 1.4.2), причем
Рис. 1.4.2
г ' = -P-
мин е-1
I 4 5 ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ