Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
Пример. Линейный гармонический осциллятор.
со — масса, энергия и собственная циклическая частота осциллятора. Каноническое преобразование, осуществляемое с помощью производящей функции F1 (q, q', t) =
= q2 ctg q’, имеет вид
H' = HXa1, ..., as), так что q\ = = со, (O1, ..., as) = const
2 2
Функция Гамильтона H = + q2 = Е, где т, E и
vr і а / <¦
р = —-і = mcog ctg а и p dq
_ Tniaq2 Э?' 2 Sin2Q'
или
Новый гамильтониан
г
1.5.5. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 119
р
Следовательно, а' — циклическая координата, р' — — ~
CO
• Л J-T/ Iop
= const, q = —т =со, q' = cot + а и g = /--------------- sin (cot + а).
Jr. »1 . -2
Эр'
5°. Другой, более общий метод применения канонических преобразований к решению задач механики, называемый методом Гамильтона—Якоби, пригоден и в тех случаях, когда функция Гамильтона системы зависит от времени. Этот метод состоит в отыскании канонического преобразования, переводящего обобщенные координаты q(t) и импульсы p(t) к их начальным значениям: q' = g(0) = q0 и p' = р(0) = р0. Уравнения, связывающие старые и новые канонические переменные:
9(f) = /(%> Ро> f) ИР(0 = ф(%> Ро> О
представляют собой полное решение задачи.
Из уравнений Гамильтона для </ и р' следует, что новые переменные будут, действительно, постоянными W=P' = О), если новая функция Гамильтона H' = О. Поэтому производящая функция F должна удовлетворять
уравнению: H(q,p, t) + ^ =0. Так как все Pi постоянны, то в качестве производящей функции удобно взять функцию S типа F2 (см. п. 2°): S = S (q, р , f). Тогда р, = , и
Oqi
функция S удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби:
Tjin п п ds as a , as _ п Hyql, q2, ...,gs, _ J + — О.
Общее решение этого нелинейного дифференциального уравнения в частных производных 1-го порядка называют главной функцией Гамильтона. Она имеет вид S = Siql, q2, ..., qs, O1, а2, ..., Cts, f),
где Ct1, Ct2, Cts — постоянные интегрирования, которые можно принять за начальные значения обобщен-1I^ I I ных импульсов (Ct1- = P1-(O)). Начальные значения обоб-
щенных координат
Qi = P1= Jg (* = 1,2, ...,в).
120 1.5. ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Разрешая эту систему уравнений относительно всех Q1, можно найти решение рассматриваемой задачи:
Ii = Qi а2> ---> cV Pi- Рг- —• Ps> f)
(і = I, 2, s).
Поскольку
dS _ Y м j. 3S = Y „ A -JJ =т
At'L^iT+Tt Lpiqi Н Ь’
1=1 1=1
главная функция Гамильтона равна неопределенному интегралу по времени от функции Лагранжа, т. е. действию по Гамильтону:
S = JL dt.
6°. Скобками Пуассона для двух функций времени и обобщенных координат и импульсов механической системы ф(д, р, t) и i|/(gr, р, t) называется выражение:
(ш wi = f Эф Эф _ Эф
LUqfipi dpfiqj-
і = I
Свойства скобок Пуассона:
а) {\(/, ф} = —{ф, у} (свойство антикоммутативности),
б) {ф, ф} = {у- у} = О,
в) если a = const, то {ф, а} = {а, у} = О,
г) {ф, (Vjy1 + i|/2)} = {ф, Ijz1J + {ф, Ijf2J (свойство распределительности),
д) частная производная по времени t (или по какому-либо другому аргументу) равна:
^{ф,у} = {^,у} + {ф,^}.
е) тождество Якоби—Пуассона
{фі {ф2- Фз}} + (Ч>2 <Фз- Фі>} + (Фз {Фі- Ф2» = °> где {ф, {ф;, фА}} — двойные скобки Пуассона.
7°. Если f(q, р, t) — функция времени и обобщенных координат и импульсов голономной консерва-
1.5.6. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
121
тивнои системы, движение которой описывается каноническими уравнениями Гамильтона:
Л - ZH т . __ЭH 9i M Pi Э Q1 ’
I; = Ii+
Если функция f(q, р, t) — интеграл уравнений движения системы, то f(q,p, t) = const, j = О, ифункция
f удовлетворяет уравнению
|?+(AH)-O.
В частности, если и j = 0, то {/, H } = 0.
Из тождества Якоби—Пуассона для функций Z1, f2 и Н, где первые две — интегралы уравнений движения механической системы, следует, что функция f3 = = {/,, f2} также является интегралом движения этой системы (теорема Пуассона).
6. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
1°. Первым интегралом движения любой изолированной системы является ее полная энергия (закон сохранения и превращения энергии). Этот закон связан с однородностью времени, т. е. независимостью законов движения системы от выбора начала отсчета времени. В частности, для консервативной системы с однородностью времени связан закон сохранения полной механической энергии этой системы. Действительно, в силу однородности времени, функция Лагранжа L, определяющая закон движения консервативной системы, не зависит явно от времени и
AL _ Y1 (9L • ЭL
dt \dqf 1 Sqi dt )'
122 1.5. ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
С помощью уравнений Лагранжа это равенство можно представить в форме
т: е. полная механическая энергия консервативной системы E = T(q, q )+U (5) является интегралом ее движения. Аддитивность энергии E системы следует из аддитивности функции Лагранжа, от которой E зависит линейно. Закон сохранения полной механической энергии справедлив для любой консервативной системы, как замкнутой, так и незамкнутой.
2°. Интегралом движения замкнутой системы является также вектор импульса системы. Закон сохранения импульса связан с однородностью пространства. Однородность пространства означает, что параллельный перенос в нем замкнутой механической системы как целого не изменяет механических свойств системы, т. е. оставляет ее функцию Лагранжа неизменной. Функция Лагранжа для замкнутой системы, состоящей из N материальных точек,
