Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
106 1.5. ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
тельная, или фазовая точка). Изменение состояния системы отображается траекторией фазовой точки в фазовом пространстве (фазовая траектория). Фазовая траектория не может пересекаться сама с собой, ибо это означало бы неоднозначность решения уравнений Гамильтона. Фазовое пространство не имеет ничего общего с реальным пространством и является геометрической схемой, с помощью которой законы изменения состояния системы могут быть сформулированы на геометрическом языке.
Примеры.
1. Линейный гармонический осциллятор, движущийся около положения равновесия (Qf = 0), под действием упругой силы F = —aq, где а — положительный коэффициент. Решение уравнения движения
mq= —aq
имеет вид
q = A sin (сot + ф), р — mq = ты A cos (cof + ip), где А — амплитуда, <р — начальная фаза колебаний,
и = 2Jiv = , V — частота колебаний. Исключая вре-
Hm
мя, находим уравнение фазовой траектории:
(!)
2 + P2- = 1.
(то) А)2
Фазовой траекторией является эллипс с полуосями а = А и b — гтоА. Фазовым пространством осциллятора является плоскость.(р, q) (рис. 1.5.1).
Полная механическая энергия осциллятора равна
E=
2
% P
є Г— —Y
Aq
Ее можно связать с площадью эллипса S jjpdg' = = nab = nmoiA2:
E= ~ S = vf,pdq.
Площадь эллипса имеет раз-Рис. 1.5.1 мерность действия.
I 5 4. ПОНЯТИЕ О ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПАХ МЕХАНИКИ 107
2. Плоский ротатор представляет собой частицу, вращающуюся в плоскости на заданном расстоянии от начала координат. За обобщенную координату удобно выбрать угол ф, образуемый радиусом-вектором г с осью Ох. Функция Гамильтона if совпадает с кинетической энергией и функцией Лагранжа:
TJ — гг — fnr ~2~
тг2ф2 _ J<j>2
где ф — угловая скорость и J = mr2 — момент инерции.
Обобщенный импульс Piff, сопряженный с координатой ф, равен
Pv=Щ=тг2*=J^’
т. е. р есть момент импульса. Функцию Гамильтона H
можно выразить так: H=-^- — и по каноническим
2J
уравнениям Гамильтона SH
Эф
ЭH
Первое из уравнений дает Ptf = L= Ptpl = const, т. е. закон сохранения мо-мента импульса. Фазовым пространством является плоскость (Ptf, ф)
(рис. 1.5.2). Фазовая траектория име- О ет вид прямой Pt9 = L. рис 1.5.2
4. ПОНЯТИЕ О ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПАХ МЕХАНИКИ
Iе. Уравнения движения механической системы
или условия ее равновесия могут быть получены как следствия из некоторых общих положений, называемых вариационными принципами механики. Вариационные принципы показывают, чем истинное движение или состояние механической системы отличается от всех кинематически возможных (т. е. допус-
108 1.5. ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
каемых связями) ее движений или состояний. Вариационные принципы, выражающие это различие для движения или состояния системы в каждый данный момент времени, называют дифференциальными. Эти принципы являются наиболее общими в механике — они в равной мере применимы как к голономным, так и к неголономным системам. Вариационные принципы, устанавливающие различие между истинным перемещением системы за конечный промежуток времени и всеми ее кинематически возможными перемещениями, называют интегральными. Интегральные вариационные принципЬі справедливы только для голономных систем. Однако их обычно формулируют применительно к консервативным голономным системам.
2°. Основные дифференциальные вариационные принципы.
Принцип виртуальных (возможных) перемещений'. для равновесия любой механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ действующих на нее активных сил при любом виртуальном перемещении системы была равна нулю (если все связи удерживающие) или меньше нуля (если среди связей есть неудерживающие), т. е.
П I
&4(«> = Jj (F^Srft) = ? QlSqi <0,
k= I 1 = 1
где I — число обобщенных координат системы.
В частности, для голономной системы с s степенями свободы, подчиненной идеальным удерживающим связям, все вариации Sqi независимы и условия равновесия имеют вид
Qi = O (i = 1, 2, s).
Принцип Даламбера—Лагранжа: для истинного движения любой механической системы, подчиненной идеальным удерживающим связям, сумма элементарных работ всех активных сил и сил инерции на
1.5.4. ПОНЯТИЕ О ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПАХ МЕХАНИКИ 109
любом виртуальном перемещении системы в каждый данный момент времени равна нулю, т. е.
ІК’-ФЬ=0-
ft = 1
d2r
где —? — ускорение fc-й материальной точки массой dt2
А2гк
тк' mk—т — даламберова сила инерции. dt2
В обобщенных координатах
где T — кинетическая энергия системы.
Принцип виртуальных перемещений и принцип Да-ламбера—Лагранжа можно также применять к системам, подчиненным неидеальным связям, если силы трения, соответствующие этим связям, включить в число активных сил.
3Действием по Гамильтону (или просто действием) называют величину S, равную интегралу по времени от функции Лагранжа L механической системы. Действие по Гамильтону за промежуток времени от tj до t2 равно
tZ
S=Jl At.
tI
