Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
Действием по Лагранжу (укороченным действием) называют величину S0, равную интегралу по времени от удвоенной кинетической энергии T механической системы. Действие по Лагранжу за промежуток времени от t j до It2 равно
t2
S0= J 2 !Tdi.
HO 1.5. ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Для голономной системы с s степенями свободы
tZ п tZ п tZ
sO= J X PiVidt = J Yjpidqi ” J(H + i)d*’
fIi = 1 hi = 1 h
где P1 — обобщенный импульс, сопряженный с обобщенной координатой Qfj, H — функция Гамильтона системы.
В частности, для консервативной голономной системы H = const, и S0 = H(t2 — fj) + S, где S — действие по Гамильтону.
4°. К интегральным вариационным принципам механики относятся различные формулировки принципа наименьшего действия. Наиболее распространенными являются принцип Гамильтона—Остроградского и принцип Мопертюи—Лагранжа.
Принцип Гамильтона—Остроградского: действительное перемещение консервативной голономной системы из положения A1(Qfjl) в момент времени I1 в положение A2(Qfl2) в момент времени f2 отличается от всех кинематически возможных перемещений этой системы из A1 в A2 за тот же промежуток времени I2 ~ ij тем, что для него действие по Гамильтону стационарно, т. е. равна нулю первая вариация S:
tZ *2
5S = 5 J L di = 0 или J SL At = 0.
h Ч
Здесь 5 — символ изохронной вариации, т. е. при варьировании действия время t (в частности, tj и t2) не варьируется. Кроме того, предполагается, что начальное и конечное положения A0 ViA1 системы фиксированы, т. е. SQfjl = Sqi2 — 0 (i = 1, 2, ..., s).
В случае стационарности связей системы условие стационарности действия по Гамильтону (SS = 0), как правило, означает, что действие минимально.
Из принципа Гамильтона — Остроградского можно получить канонические уравнения Гамильтона для
1.5.4. ПОНЯТИЕ О ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПАХ МЕХАНИКИ 111
консервативной системы. Для этого выразим функцию Лагранжа системы L (q, q, t) через функцию Гамильто-
S
на H (q, р, t): L= ^ Pi^i - Н. Тогда і = 1
SS = 5 JLdf= Jsl df = J (5 ? ptqt - Н) dt = О, h h tj і = 1
8 S S
8YpAi = ? (5Mi +Pi Se,)= ? ( 5Рі9і+Pi^Sffij.
і = 1 і = 1 і = 1
І (I8*+ і = 1 1 1
и по правилу интегрирования по частям
tZ t t2 tz
Jpi^Sffidt =PiSffJ4 ~~ JlT Sffi dt = -Jpj Sgri df.
Поэтому принцип Гамильтона—Остроградского можно записать в следующей форме:
V = 1 «Iі = 1
Вариации Sqi и Spi всех обобщенных координат и импульсов полностью независимы. Следовательно, в этом уравнении должны быть равны нулю коэффициенты при всех Sqi и Spi, т. е. должны выполняться канонические уравнения Гамильтона:
112 1.5. ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Принцип Гамильтона—Остроградского легко обобщается на любую голономную механическую систему. Его математическая запись в этом случае имеет вид
tI tZ s
5 JTdf+ J ? QiSqi df = О *ii = 1
J SL+ ? QiSql
і = I
df = О,
где Qi — обобщенная сила, a Qi — обобщенная непотенциальная сила.
Итак, для произвольной голономной системы принцип Гамильтона—Остроградского утверждает, что первая вариация действия по Гамильтону равна интегралу по времени от элементарной виртуальной работы непотенциальных сил, взятому с обратным знаком:
5S = 5 Jl df = Jsl dt = - JQriSqi dt.
tI tI tI
Для голономной неконсервативной системы, обла-
*
дающей обобщенным потенциалом U , принцип Гамильтона—Остроградского имеет вид
tZ
S J L dt = О, где L = T - U* . h
Из обобщенного принципа Гамильтона—Остроградского можно получить уравнения Лагранжа 2-го рода:
sjVd,= JSTd1= j?[|s,,
t_ t. t J - 1
1.5 4. ПОНЯТИЕ О ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПАХ МЕХАНИКИ 113
Так как Sqi = J = A Sqi и Sqi2 = Sgil = 0, то
Щ н - Ji? ? S* ¦“ - ! 5аС Jn (!) 8® 0' -
tI tI tI
--ЇЩ)**-
'l
Следовательно, обобщенный принцип Гамильтона — Остроградского можно записать в следующей форме:
V = 1
Вариации Sqi всех обобщенных координат полностью независимы. Поэтому в написанном выше уравнении должны быть равны нулю коэффициенты при Sqi, т. е. должны выполняться уравнения Лагранжа 2-го рода:
т.)-%гв' "-1-*..............*
5°. Принцип Мопертюи—Лагранжа: действительное перемещение консервативной голономной системы из положения A1(Qfil) в положение A2(Qfj2) отличается от всех кинематически возможных изоэнергетических перемещений этой системы из A1 в A2 тем, что для него укороченное действие экстремально (точнее, минимально), т. е.
tZ
AS = A J271 df = 0. h
Здесь А — символ полной вариации, при нахождении которой варьируются не только Qf1 и qt (как при
5-варьировании), но и время, т. е. пределы интегрирования. Кроме того, предполагается, что полная механическая энергия системы E = H = const, а начальное и конечное положения A1 и A2 системы фиксированы, т. е. AQfa = AQfj2 = 0 (г = 1, 2, ..., s).
114 1.5. ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Принцип Мопертюи—Якоби для консервативной голономной системы:
A$J2(E-U) 2 Y CilJdqiAqj=Q. л, iV U=I
Он вытекает из принципа Мопертюи—Лагранжа, так как для консервативной системы J2T = ,J2(E — U) и